22η συνάντηση

Συνάντηση 22 ^η: Τέχνη και γεωμετρία 2

1^η δραστηριότητα

Θα παρακολουθήσουμε τα video και θα συζητήσουμε για την σχέση της τέχνης με τη γεωμετρία (2 και 30

1.      http://www.slideshare.net/gdoubos/ss-13363256

2.      https://www.youtube.com/watch?v=zl75iQG1Nz8

3.      https://www.youtube.com/watch?v=tfNOEkrFPI8

maths in art

4.      https://www.youtube.com/watch?v=hhhhfqiJ7nU

2^η δραστηριότηταΘα συζητήσουμε για τις πλακοστρώσεις και τη σχέση τους με τη γεωμετρία μέσα από την παρουσίαση (ppt) .Smile 0851(σχέδια με πλακάκια )
  Με αφορμή τον M.C.Escher και το γεγονός ότι επηρεάστηκε από τα ισλαμικά σχέδια θα παρακολουθήσουμε το video http://ed.ted.com/lessons/the-complex-geometry-of-islamic-design-eric-broug
3^η δραστηριότητα
How to Make Geometric Art Easy
How To Draw Mandala - The OctoCircles Pattern - Sacred Geometry Tutorial
4^η δραστηριότητα

Και θα δούμε πώς μπορούμε να φτιάξουμε τα δικά μας σχέδια με τη βοήθεια του φύλλου εργασίας

smile 2063(Ισλαμικά σχέδια ).

Θα παρακολουθήσουμε τα video και θα δούμε πώς μπορείς να χωρίσεις  ένα τετράγωνο και αξιοποιώντας την συμμετρία και τους αντικατοπτρισμούς κάνεις τους δικούς σου πίνακες ζωγραφικής  ….

https://www.youtube.com/watch?v=gt0DeRgulOE

https://www.youtube.com/watch?v=usuUZy5JLIA

Οι  μαθητές θα χωριστούν σε ομάδες και θα κάνουν τα δικά τους έργα τέχνης

1^η ομάδα M.C.Escher

2^η ομάδα ισλαμικά σχέδια

3^η ομάδα  τετραγώνου

4^η ομάδα πεντόμινο smile 0328

21η συνάντηση

Συνάντηση 22 ^η: Τέχνη και γεωμετρία 1

20η συνάντηση

Συνάντηση 20^η:Κατασκευή πολυγώνων  εγγεγραμμένων σε κύκλο

Εργαστήκαμε με το ανοιχτό εκπαιδευτικό λογισμικό Δυναμικής sketchpad το οποίο επιτρέπει την άμεση διαχείριση των μαθηματικών αντικειμένων και σχημάτων καθώς και την επεξεργασία τους από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Η δυνατότητα της κίνησης και της παρακολούθησης των αλλαγών των στοιχείων και των μεγεθών του σχήματος διευκολύνει τη διατύπωση και τον έλεγχο εικασιών και τον πειραματισμό στα Μαθηματικά .

Συγκεκριμένα,  οι μαθητές ασχολήθηκαν με σειρά δραστηριοτήτων (φύλλο εργασίας 1-Πολύγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο) που αφορούν την κατασκευή κανονικών πολυγώνων, εγγεγραμμένων σε κύκλο. Ερεύνησαν τις ιδιότητές τους και αναζήτησαν τη σχέση τους  με τον κύκλο.

 Επιπλέον,  να κατανοήσουν τη κοινωνική ιεραρχία που περιγράφεται στο βιβλίο Επιπεδοχώρα, και αφορά το σχήμα και τον αριθμό των πλευρών των κατοίκων της. Όπως αναφέρεται στο  βιβλίο «Όσο αυξάνει ο αριθμός των πλευρών ενός σχήματος, τόσο ανεβαίνει και η κοινωνική του θέση μέχρι να φτάσει στον τιμημένο τίτλο του πολυγώνου. Τέλος,  όταν ο αριθμός των πλευρών ενός σχήματος είναι πολύ μεγάλος, με αποτέλεσμα οι πλευρές του να είναι πολύ μικρές και να μην ξεχωρίζει από έναν κύκλο, τότε μπαίνει στην ιερατική οικογένεια των κύκλων».

Ο κύκλος είναι το όριο των εγγεγραμμένων πολυγώνων,  καθώς ο αριθμός των πλευρών τους αυξάνει,  τείνοντας προς το άπειρο.

19η συνάντηση

Συνάντηση 19^η: Εξοικείωση με το λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας sketchpad

Θέμα: Ιδιότητες των διδιάστατων σχημάτων

Στόχος:

Να γνωρίσουν οι μαθητές

• Να ταξινομούν σχήματα με βάση τις ιδιότητες τους
• Να διατυπών ουν ορισμούς των σχημάτων με βάση τις ιδιότητες τους  
• Θα εξοικειωθούν με το λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας  sketchpad,

Με αφορμή  την ταινία flatland θα συζητήσουμε για τα χαρακτηριστικά των ηρώων/ πολυγώνων και τις ιδιότητες τους.

Στη συνέχεια Θα δουλέψουμε με μια απλή κλωστή  / γραμμή με την οποία θα δημιουργήσουν τα παιδιά διαφορά σχήματα πάνω σε ένα χαρτόνι / επίπεδο

Ερωτήματα: 

Τι είδους σχήματα μπορούμε να δημιουργήσουμε με την κλωστή / γραμμή

Απλές κλειστές καμπύλες

• κοίλα και κυρτά σχήματα. 
• Πολύγωνα και απλές κλειστές καμπύλες

Τρίγωνα

• Ισόπλευρα –ισοσκελή και σκαληνά
• Οξυγώνια –ορθογώνια – Αμβλυγώνια

Κυρτά Τετράπλευρα

Ισοσκελή τραπέζια –παραλληλόγραμμα- ρόμβοι -ορθογώνια -τετράγωνα

 Υπάρχουν πολλοί τρόποι να ταξινομήσουμε τα τετράπλευρα

Οι μαθητές θα εργαστούν με το φύλλο εργασίας «κατηγορίες δισδιάστατωνσχημάτων» στο οποίο κληθούν να κατατάξουν τα σχήματα που θα τους δοθούν και να τα περιγράψουν αναζητώντας τις ιδιότητές τους. Θα διαπιστώσουν ότι στην κατηγοριοποίηση των τετραπλεύρων και των παραλληλόγραμμων τα υποσύνολα δεν είναι ξένα μεταξύ τους, όπως όλα τα τετράγωνα είναι  παραλληλόγραμμα, αλλά όλα τα  παραλληλόγραμμα δεν είναι τετράγωνα  κτλ

Οι μαθητές θα εργαστούν στους  υπολογιστές του εργαστηρίου πληροφορικής του σχολείου προκειμένου να εξοικειωθούν με το λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας  sketchpad, έτσι ώστε να μπορέσουν στην επόμενη συνάντηση να κατασκευάσουν πολύγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο και να διερευνήσουν τις ιδιότητες τους. 

• 
  

18η συνάντηση

Συνάντηση 18^η: Χωρικές έννοιες.

Παρακολουθήσαμε την ταινία  Flatland και μια συναρπαστική περιπέτεια μαθηματικής φαντασίας σ' έναν δισδιάστατο κόσμο, ο οποίος κατοικείται από νοήμονα γεωμετρικά σχήματα που κινούνται, μιλούν και έχουν ανθρώπινα αισθήματα. Ο αφηγητής, ένα  Τετράγωνο που ζει την ήρεμη ζωή του στο επίπεδο, μας βοήθησε να κατανοήσουμε τα χαρακτηριστικά  του χώρου των δύο διαστάσεων  και μαζί του ανακαλύψαμε τα μυστικά της Τρίτης Διάστασης, όταν η επίπεδη ζωή του ανατράπηκε από την επίσκεψη μυστηριώδους επισκέπτη , της Σφαίρας .  Ακολούθησε συζήτηση για τις δύο τρεις και τέσσερεις διαστάσεις και οι  μαθητές έκανα εικασίες για την ύπαρξη περισσότερων διαστάσεων.

Η ταινία είναι βασισμένη στο βιβλίο «FLATLAND η Επιπεδοχώρα, του Abbott Edwin, μια συναρπαστική περιπέτεια μαθηματικής φαντασίας σ' έναν δισδιάστατο κόσμο, ο οποίος κατοικείται από νοήμονα γεωμετρικά σχήματα που κινούνται, μιλούν και έχουν ανθρώπινα αισθήματα. 

Abbott Edwin(1999).  Flatland η Επιπεδοχώρα, Εκδόσεις Αιώρα , Αθήνα 1999 .

 

Φύλλο εργασίας εδώ 

17η συνάντηση

Η ιστορία της γεωμετρίας

Οι ρίζες της Γεωμετρίας εντοπίζονται σε κάποιες αναπτυγμένες κοινωνίες της Ανατολής από την 5η ως και τη 2η χιλιετία π.Χ. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι, Ινδοί και Κινέζοι είναι από τους πρώτους που ανάπτυξαν τη Γεωμετρία. Δεν είναι τυχαίο ότι οι λαοί αυτοί ζούσαν κοντά σε μεγάλα ποτάμια. Ο Τίγρης και ο Ευφράτης, ο Νείλος, ο Ινδός και ο Γάγγης με τις συχνές τους πλημμύρες μετέβαλλαν το γύρω χώρο σ' ένα απέραντο λασπότοπο. Οι κάτοικοι επομένως αντιμετώπιζαν επιτακτική την ανάγκη να μετρούν τη γη, να επανακαθορίζουν τα όρια των αγρών και να επινοούν τρόπους κατασκευής αρδευτικών έργων, ώστε να ελέγχονται οι πλημμύρες και έτσι αντί για λασπότοπους να έχουν πλούσιους σιτοβολώνες και ορυζώνες. Αποτέλεσμα των αδιάκοπων αυτών προσπαθειών ήταν η δημιουργία και ανάπτυξη της Γεωμετρίας.

Η Γεωμετρία λοιπόν των ανατολικών λαών γεννήθηκε από την ανάγκη επίλυσης πρακτικών προβλημάτων. Ο σκοπός της ήταν να εξυπηρετήσει τη γεωργία, τις τεχνικές κατασκευές, τη μηχανική, την αρχιτεκτονική, τις πρακτικές ανάγκες γενικά και όχι να αποκαταστήσει αλήθειες θεωρητικού χαρακτήρα.

Ο πρώτος λαός που ανάπτυξε τη Θεωρητική Γεωμετρία ως μαθηματική Επιστήμη, ήταν οι αρχαίοι Έλληνες. Αυτοί εισήγαγαν και ανάπτυξαν την αποδεικτική διαδικασία, θεμελίωναν και δόμησαν τη Γεωμετρία και δημιούργησαν την "Ευκλείδεια Γεωμετρία", την οποία οι περισσότεροι μελετητές, ακόμα και σήμερα, θεωρούν ως έναν από τους κλάδους των Μαθηματικών που είναι υποδειγματικά θεμελιωμένος.

Γύρω στο 300 π.Χ. γράφονται τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη (330-250 π.Χ.), που είναι ένα έργο - σταθμός στην ιστορία των Μαθηματικών. Χρησιμοποιήθηκε για πολλούς αιώνες ως βασικό κείμενο διδασκαλίας της Γεωμετρίας και ως προς τον αριθμό εκδόσεων και μεταφράσεων υπολείπεται μόνο της Αγίας Γραφής.

Ο Ευκλείδης πίστευε ότι στη Γεωμετρία αν τεθούν μερικές βασικές αρχές και όροι και επιλεγεί ένα σταθερό σύνολο προτάσεων, τότε η αλήθεια κάθε πρότασης προκύπτει από αυτές και από προηγούμενές της προτάσεις με λογικές διαδικασίες και συλλογισμούς.

Έτσι, ο Ευκλείδης καθόρισε αρχικά τις βασικές Γεωμετρικές αρχές που θα έχει το έργο του. Συγκέντρωσε όλα τα γνωστά έργα των παλαιότερων μαθηματικών, ταξινόμησε την ύλη, τη βελτίωσε, τη συμπλήρωσε, την ανάπτυξε και την τοποθέτησε σε μια ιεραρχημένη σειρά. Στην αρχή καθόρισε τις βασικές γεωμετρικές έννοιες και στη συνέχεια διατύπωσε προτάσεις που μπορούν να γίνουν αμέσως παραδεκτές. Προσπάθησε οι πρώτες αυτές προτάσεις να είναι όσο το δυνατόν λιγότερες αλλά αρκετές για να οικοδομηθεί με τη βοήθειά τους ολόκληρο το γεωμετρικό οικοδόμημα. Έτσι, την αποδεικτική μέθοδο που εισήγαγε ο Θαλής και ανάπτυξαν οι Πυθαγόρειοι και οι μαθηματικοί που ακολούθησαν, την τελειοποίησε ο Ευκλείδης δημιουργώντας έτσι ένα πρότυπο θεωρητικό και επιστημονικό έργο που αποτελεί τη σημαντικότερη συμβολή στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Αποσπάσματα από τα Στοιχεία

Όροι

1.      Σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει μέγεθος

2.      Η γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος

3.      Της γραμμής τα πέρατα είναι σημεία

4.      Ευθεία γραμμή είναι εκείνη που απέχει εξίσου από τα σημεία της

5.      Επιφάνεια είναι ό,τι έχει μόνο μήκος και πλάτος

Αιτήματα

1.      Ας απαιτηθεί από κάθε σημείο να άγεται ευθεία γραμμή προς κάθε σημείο

2.      Και πεπερασμένη ευθεία να μπορεί συνεχώς να προεκτείνεται ευθυγράμμως

3.      Και με κάθε κέντρο και κάθε ακτίνα να μπορεί να γραφτεί κύκλος

4.      Και όλες οι ορθές γωνίες να είναι ίσες μεταξύ τους

5.      Και να ευθεία τέμνουσα δύο ευθείες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν επ' άπειρον να τέμνονται προς το μέρος όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες.

Αλιμπινίσης Αναστάσιος, Κοντογιάννης Δημήτριος, Δημάκος Γεώργιος, Τασσόπουλος Γεώργιος, Εξαρχάκος Θεόδωρος

Θεωρητική Γεωμετρία Α' Λυκείου, Ο.Ε.Δ.Β, 1990-98

http://clubs.pathfinder.gr/emath

16η συνάντηση

16^η Συνάντηση

Θέμα: Μεγάλοι Αριθμοί-Το άπειρο 

Στόχος:

Να  διερευνήσουν οι μαθητές ;

·Την έννοια του απείρου
· Τις ιδιότητες του απείρου

Για να δείτε την παρουσίαση της συνάντησης πατήστε εδώ

15η Συνάντηση

15^η Συνάντηση

Θέμα: Γνωστές ακολουθίες αριθμών στο  τρίγωνο του Πασκάλ 

Στόχος:

Να  διερευνήσουν οι μαθητές ;

·        Γνωστές  διατάξεις των αριθμών ,όπως το τρίγωνο του Πασκάλ με τους  τετράγωνους, τους  τριγωνικούς αριθμούς και την ακολουθία Φιμπονάτσι (Το αριθμητικό σύστημα της φύσης)

·        Την έννοια του απείρου, μέσα από γνωστές σε αυτούς ακολουθίες,  στο τρίγωνο του Πασκάλ.

Να παίξουν παιχνίδια με τους αριθμούς 


Για να δείτε την παρουσίαση της συνάντησης πατήστε εδώ

14η συνάντηση

Στόχος:

Να γνωρίσουν οι μαθητές

·        Το μαγικό αριθμό φ και τη χρυσή αναλογία

·        Γνωστές  διατάξεις των αριθμών ,όπως το τρίγωνο του Πασκάλ με τους  τετράγωνους, τους  τριγωνικούς αριθμούς και την ακολουθία Φιμπονάτσι (Το αριθμητικό σύστημα της φύσης)

Να παίξουν παιχνίδια με τους αριθμούς

Η παρουσίαση της συνάντησης εδώ
και το φύλλο εργασίας εδώ

13η συνάντηση

13^η Συνάντηση

Θέμα: Ακολουθίες αριθμών / Το αριθμητικό σύστημα της φύσης -Οι  αριθμοί Fibonacci

 Στόχος:

Να γνωρίσουν οι μαθητές

•  Τι είναι «ακολουθία»  και τι «σειρά» αριθμών
• Θα γνωρίσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς και τους αριθμούς Φιμπονατσι
• Γνωστές  διατάξεις των αριθμών ,όπως το τρίγωνο του Πασκάλ με τους  τετράγωνους, τους  τριγωνικούς αριθμούς και την ακολουθία Φιμπονάτσι (Το αριθμητικό σύστημα της φύσης)
• Να παίξουν παιχνίδια με τους αριθμούς

Προβολή παρουσίασης εδώ

12η Συνάντηση

12^η Συνάντηση

Θέμα: Μαγικοί αριθμοί / Ιδιότητες των αριθμών (Συνέχεια )

 Στόχος:

• Να γνωρίσουν μερικές από τις ιδιότητες των αριθμών,
• Να γνωρίσουν τους πρώτους και τους σύνθετους αριθμούς
•  τους τετράγωνους αριθμούς και του τριγωνικούς αριθμούς
• Να παίξουν παιχνίδια με τους αριθμούς

Ø  Σύνδεση με τα προηγούμενα.

Ø  Τι έγινε στο εργαστήρι ο του ΕΚΦΕ

Ø  Με ποιο τρόπο απεικονίσαμε τα σύνολα αριθμών που γνωρίζουμε . Θα θυμηθούμε το διάγραμμα Venn με τα σύνολα των αριθμών που κατασκευάσαμε στη διάρκεια της 10^η συνάντησης και θα μιλήσουμε για τον Τζον Βενν ,  τον  Άγγλο λογικολόγος και φιλόσοφος  που  έγινε  γνωστός για τη σύλληψη του διαγράμματος Βενν, το οποίο χρησιμοποιείται  σε πολλά επιστημονικά πεδία, περιλαμβανομένης της θεωρίας συνόλων, της θεωρίας πιθανοτήτων, της λογικής, της στατιστικής και της πληροφορικής.

Ø  Θα θυμηθούμε τους πρώτους Αριθμούς και το κόσκινο  του Ερατοσθένη και θα  μιλήσουμε για τον Ερατοσθένη τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό  που προσπάθησε να βρει όλους τους πρώτους αριθμούς .

Ø  Θα δούμε  πώς ο  Ερατοσθένης μέτρησε την περιφέρεια της γης / Το πείραμα του Ερατοσθένη

Ø  Θα μιλήσουμε για περίεργους πρώτους αριθμούς και για μυστικούς κώδικές που βασίζονται στους πρώτους αριθμούς

Ø  Θα ξαναδούμε τους τετράγωνους αριθμούς, μαγικούς τετράγωνους αριθμούς και θα λύσουμε σπαζοκεφαλιές, όπως η μεγάλη απόδραση 

Ø  Θα γνωρίσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς Τρριγωνικοί αριθμοί  (smile 0220,0221)

Ø  Θα γνωρίσουμε τον Καρλ Γκάους,  Γερμανό μαθηματικό και αστροφυσικό, από τις κορυφαίες επιστημονικές φυσιογνωμίες όλων των εποχών, αφού θεωρείται ο θεμελιωτής των μαθηματικών της σύγχρονης εποχής και θα απασχοληθούμε με την απόδειξη της μαθηματικής πρότασης του σχετικά με τους τριγωνικούς αριθμούς Απέδειξε ότι προσθέτοντας το πολύ τρεις τριγωνικούς αριθμούς μπορούμε  να βρούμε  οποιοδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε  τους τριγωνικούς αριθμούς που δίνουν άθροισμα την ηλικία μας. 

Ø  Θα παίξουμε παιχνίδια με αριθμούς παιχνίδια με αριθμούς  smile 1618

 Η παρουσίαση της συνάντησης εδώ

11η Συνάντηση

Συνάντηση11^η: Πόσο μικροί μπορεί να είναι οι αριθμοί;

Κύτταρο και δομή του ατόμου (σύνδεση μαθηματικών και φυσικής )

Παρατήρηση με μικροσκόπιο (επίσκεψη στο ΕΚΦΕ Αλεξανδρούπολης)

Στόχοι :

Οι μαθητές :

Να κατανοήσουν τη χρήση των αριθμών στις μετρήσεις μικρών μεγεθών

Να αναγνωρίσουν,  να αναπαραστήσουν και να περιγράψουν πολλαπλασιαστικές σχέσεις μεταξύ  μεγεθών

Να συγκρίνουν μεγέθη  με κριτήριο την ύπαρξη πολλαπλασιαστικών σχέσεων / μεγέθυνση

Να αναπτύξουν αναλογική συλλογιστική σκέψη

Και να διερευνήσουν τη σχέση των μαθηματικών με τις φυσικές επιστήμες(το παράδειγμα τις βιολογίας )

Αρχικά ο κ. Καραϊλανίδη μας έδωσε  πληροφορίες  για την ιδιότητα του, το ΕΚΦΕ και τα μαθηματικά που χρησιμοποιεί στην εργασία του

Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών

Η μέτρηση του μεγέθους αντικείμενων που μπορείς να δεις είναι εύκολη υπόθεση !

Ø  Πώς όμως μετράς αυτά που δεν μπορείς να διακρίνεις ;

Ø  Πόσο μήκος έχει το κεφάλι μιας καρφίτσας;

Ø  Πώς μετράς αυτά που ούτε φαντάζεσαι πόσο μικρά είναι;

Ø  Όταν οι επιστήμονες ανακάλυψαν την ύπαρξη του κυττάρου, που δε φαίνεται με γυμνό μάτι, πώς το μέτρησαν

Ø  Τι όργανα κατασκεύασαν και ποια μαθητικά χρειάστηκαν για να μελετήσουν τα κύτταρα;

Μερικά από τα ερωτήματα  μας απασχόλησαν στην 11^η συνάντηση του ομίλου.

Ø  Ποια είναι η διαφορά του μικροσκοπίου από το μεγεθυντικό φακό;

Ø  Με το μικροσκόπιο τι μπορούμε να κάνουμε ;

Ø  Ποια είναι η ιστορία του μικροσκοπίου ;

Ø  Μπορεί να μετρηθεί το μήκος του κύτταρου του κρεμμυδιού

Ø  Ποιος αριθμός μπορεί να εκφράσει αυτό το μήκος ;Πόσο μικρός είναι;  

2^η Δραστηριότητα

Οι μαθητές διάβασαν το φυλλάδιο με τις Πληροφορίες για το μικροσκόπιο και την ιστορία του και ο κ. Καραϊλανίδης τους έδωσε οδηγίες χρήσης του μικροσκοπίου

  

Στη συνέχεια τους εξήγησε τη διαδικασία προετοιμασίας των κύτταρων  κρεμμυδιού για να μπορέσουν να τα παρατηρήσουν στο μικροσκόπιο.

 Τέλος εργάστηκαν ατομικά στο Φύλλο εργασία 11^ο

Ευχαριστούμε το ΕΚΦΕ Αλεξανδρούπολης και ιδιαίτερα τον κ. Καραϊλανίδης για τη υπέροχη εμπειρία που μας πρόσφερε.

Το φύλλο εργασίας 

http://photopeach.com/album/10aqy1f

10η συναντηση

10^η Συνάντηση

Θέμα: Ιδιότητες των αριθμών

 Στόχος:

• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των πραγματικών  αριθμών.
• Να έχουν μια πρώτη επαφή με τους άρρητους αριθμούς, τον αριθμό π 
• Να γνωρίσουν μερικές από τις ιδιότητες των αριθμών,
• Να γνωρίσουν τους αρτίους και τους περιττούς αριθμού, τους πρώτους αριθμούς και τους τετράγωνους αριθμούς
• Να παίξουν παιχνίδια με τους αριθμούς 

Η παραουσίαση της συνάντησης εδώ

9η Συνάντηση

Συνάντηση 9^η:

Στόχος:

• Να γνωρίσουν τα σύνολα των αριθμών  φυσικούς, ακέραιους , ρητούς/κλασματικούς,  πραγματικούς
• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των ακεραίων και των υπόλοιπων συνόλων αριθμών .
• Να κατανοήσουν τη χρήση των ακεραίων και των ρητών.

Διερεύνηση των ιδεών για του κλασματικούς και τους δεκαδικούς αριθμούς .              

1^ο  Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών με ερωτήσεις του τύπου:

—  Γνωρίζετε  ότι τα κλάσματα, όπως τα χρησιμοποιούμε σήμερα δεν υπήρχαν στην Ευρώπη μέχρι τον 17ο αιώνα;

—  Ποιοι χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά τα  κλάσματα;

—  Γράφονταν πάντα με τον ίδιο τρόπο ;

—  Πώς έφτασαν στην Ευρώπη και από πού;

Στη συνέχεια οι μαθητές παρακολούθησαν  ένα βίντεο με θέμα τη χρήση των κλασματικών αριθμών

Fractions in Real Life   https://www.youtube.com/watch?v=5AVjBFP4MRg

Occupations That Use Fractions 2  https://www.youtube.com/watch?v=nU_kdjeGACI

Fractions in their World https://www.youtube.com/watch?v=jBASkaj0Jz8

Κλήθηκαν  να αναγνωρίσουν κλασματικούς αριθμούς σε μια ποικιλία από καθημερινά πλαίσια και να απαντήσουν στις  ερωτήσεις :

Γιατί μαθαίνουμε για τους κλασματικούς αριθμούς ;

Από πότε χρησιμοποίησαν τους κλασματικούς αριθμούς οι άνθρωποι;

3^ο Σύνολο των ρητών ή κλασματικών αριθμών

Γνωρίζετε  ότι τα κλάσματα, όπως τα χρησιμοποιούμε σήμερα δεν υπήρχαν στην Ευρώπη μέχρι τον 17ο αιώνα;

Ποιοι χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά τα  κλάσματα;

Γράφονταν πάντα με τον ίδιο τρόπο ;

Πώς έφτασαν στην Ευρώπη και από πού;

Ποιοι αριθμοί λέγονται κλάσματα και γιατί ;

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή α/β , όπου α, β ακέραιοι με β ≠0. Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q . Είναι, δηλαδή,

Q = { α/β| α, β ακέραιοι με β ≠ 0 }.

Ιστορία των κλασμάτων  

Το κλάσμα είναι αρχαία ελληνική λέξη και σημαίνει  «κομμάτι» . Η έννοια του κλάσματος μας πηγαίνει στους αρχαίους χρόνους και  είναι σχεδόν αδύνατο να πει κάποιος πότε ακριβώς χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά.

• 1800 π.Χ. ΟΙ Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούν  κλάσματα
• 1650 π. Χ.  Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν μοναδιαία κλάσματα
• 100 μ. Χ. οι Κινέζοι κατέχούν τρόπους για να κάνουν πράξεις με κλάσματα
• 1175-1250 o Fibonacci είναι ο πρώτος Ευρωπαίος μαθηματικός που χρησιμοποίησε  τα κλάσματα με τη μορφή που τα χρησιμοποιούμε και εμείς σήμερα
• Ο 1585 μ.Χ.  Ο φλαμανδικής καταγωγής  μαθηματικός Simon Stevin (1548-1620) πατέρας της νεότερης στατιστικής, επινόησε τους δεκαδικούς αριθμούς ως νέα μέθοδο γραφής των κλασματικών αριθμών. Τους παρουσίασε στο βιβλίο του « Το  Δέκατο 1585»
• 1700μ. Χ. Η γενικεύεται η χρήση των κλασμάτων με τη μορφή x/y .

Είναι αποδεκτό ότι η έννοια των φυσικών αριθμών προέρχεται από την «καταμέτρηση/ απαρίθμηση» και η έννοια των κλασμάτων προέρχεται από τη «μέτρηση». Για την καταμέτρηση/ απαρίθμηση  απαιτείται ολόκληρη / ακέραιη μονάδα μέτρησης , ενώ στις μετρήσεις χρειαζόμαστε πολλές φορές και μέρος της μονάδας ή μονάδες που να μπορούν να σπάσουν σε κομμάτια. 

Με τους φυσικούς αριθμούς μπορούμε να μετρήσουμε διακριτές ποσότητες, αλλά για να μετρήσουμε με ακρίβεια συνεχείς ποσότητες όπως μήκος, χρόνος κλπ χρειαζόμαστε τα κλάσματα, τα οποία μας έδωσαν  τη δυνατότητα να χωρίσουμε τη μονάδα / ολόκληρο σε μικρότερα κομμάτια.

Στοιχεία από τα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της έννοιας του κλάσματος  βρίσκουμε στα  αιγυπτιακά μαθηματικά και η καλύτερη πηγή για να μάθουμε πώς τα χρησιμοποιούσαν είναι ο πάπυρος Rhind (χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ. ). Διαπιστώνουμε ότι τα κλάσματα ήταν πολύ σημαντικά για τους Αιγυπτίους, γιατί από τα 87 προβλήματα που είναι καταγεγραμμένα στον πάπυρο μόνο τα 6 δεν περιέχουν κλάσματα .

http: //www.daviddarling.info/encyclopedia/R/Rhind_papyrus.html

Αιγυπτιακά κλάσματα  smile 1771

Ζεύγη ίσων κλασμάτων smile 2105

ΠΑΙΧΝΊΔΙ  από Matching Fractions http://nrich.maths.org/8283
Για να δείτε την παρουσίαση της συνάντησης πατήστε εδώ 

8η συνάντηση

Συνάντηση 8^η:

Στόχος:

• Να γνωρίσουν τα σύνολα των αριθμών  φυσικούς, ακέραιους ,
• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των ακεραίων
• Να κατανοήσουν τη χρήση των ακεραίων

1^ο  Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών με ερωτήσεις του τύπου:

«Εκτός από τους φυσικούς ποιους άλλους αριθμούς ξέρετε;»

«Πού  και πότε τους χρησιμοποιούμε;» 

Στη συνέχεια οι μαθητές θα παρακολουθήσουν ένα βίντεο με θέμα τη χρήση των αριθμών (http://www.bbc.co.uk/skillswise/topic/number-symbols) και θα κληθούν  να αναγνωρίσουν αριθμούς σε μια ποικιλία από καθημερινά πλαίσια και να απαντήσουν στην ερώτηση : Γιατί μαθαίνουμε τα σύμβολα των αριθμών; 

Οι μαθητές θα αναγνωρίσουν ακέραιους και δεκαδικούς αριθμούς

Διερεύνηση των ιδεών για του ακέραιους και τους δεκαδικούς αριθμούς .                    

Ποιο ήταν το πρώτο σύνολο αριθμών που χρησιμοποίησαν οι άνθρωποι;

1^Ο Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών : Ν {0,1,2,3,4,…}

 Το πρώτο σύνολο αριθμών που δημιούργησαν οι άνθρωποι  ήταν οι φυσικοί αριθμοί. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι τους φυσικούς αριθμούς τους δημιούργησαν για να αριθμήσουν αντικείμενα της καθημερινής ζωής .

2ο Σύνολο των Ακεραίων αριθμών : Ζ = {......., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,.......},

Οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν ονομάζονται θετικοί , ενώ οι μικρότεροι από το μηδέν λέγονται αρνητικοί. Σε κινέζικες μήτρες / πίνακες  εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στην ιστορία αρνητικοί αριθμοί. Οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν δύο ομάδες ράβδων για τους υπολογισμούς τους: κόκκινες για τους θετικούς και μαύρες για τους αρνητικούς. Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνταν για εμπορικούς σκοπούς και υπολογισμούς της φορολογίας. Το ποσό που δηλώνει πώληση θετικό (λόγω της παραλαβής των χρημάτων) και το ποσό που δαπανήθηκε για αγορά ήταν αρνητικό.

 Πέρα από την Κίνα δε συναντούσε κανείς συχνά αρνητικούς αριθμούς έως το 16^ο αιώνα μ.Χ. , ενώ στην εποχή μας οι ακέραιοι αριθμοί χρησιμοποιούνται σχεδόν καθημερινά. Στις χρηματαγορές / χρηματιστήριο, όπου καθημερινά δισεκατομμύρια μετοχές και τίτλοι αλλάζουν χέρια, τα ποσά μεταφέρονται σε τραπεζικούς λογαριασμούς με μορφή θετικών ή αρνητικών  αριθμών –χωρίς άμεση ανταλλαγή χαρτονομισμάτων ή τραπεζογραμμάτιων(C. Verderman, 1998)

 Στην Ινδία, οι αρνητικοί αριθμοί εμφανίστηκαν περίπου το  620 μ.Χ. στο έργο του Brahmagupta (598-670), ο οποίος χρησιμοποίησε τις ιδέες  «όφελος » και «χρέος» για τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς αντίστοιχα. Ο Brahmagupta χρησιμοποίησε ένα ειδικό σύμβολο για τους αρνητικούς αριθμούς και ανέφερε τους κανόνες για τις πράξεις με ακέραιους αριθμούς:

Αν από ένα χρέος αφαιρέσεις το μηδέν έχεις πάλι χρέος.

Αν από ένα όφελος αφαιρέσεις το μηδέν έχεις πάλι όφελος

Μηδέν μείον μηδέν είναι μηδέν.

Ένα χρέος που αφαιρείται από το μηδέν γίνεται όφελος.

Ένα όφελος που αφαιρείται από το μηδέν γίνεται κέρδος .

Όταν το μηδέν πολλαπλασιάζεται με ένα χρέος ή ένα όφελος το αποτέλεσα είναι μηδέν κ.ά.

  http://nrich.maths.org/5961

Δραστηριότητα 2 η  παιχνίδι δαπέδου από (C. Verderman, 1998) σελ 32

Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί, ως επί το πλείστον, αντιστάθηκαν στην ιδέα των αρνητικών αριθμών μέχρι τον 17ο αιώνα, αν και ο Fibonacci επέτρεψε τις αρνητικές λύσεις στα οικονομικά προβλήματα που θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως χρέη (chapter 13 of Liber Abaci, 1202) και αργότερα ως ζημίες.(Flos). http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82

• παραδείγματα ακεραίων αριθμών:
• οι ακέραιοι στην καθημερινή ζωή https://www.youtube.com/watch?v=0Yevn2t8wLg
• BBC Weather 17th December 2009: Snow showers in the east https://www.youtube.com/watch?v=9dmUNY6mM

Για να δείτε τη παρουσίαση πατήστε εδώ