10η συναντηση

10^η Συνάντηση

Θέμα: Ιδιότητες των αριθμών

 Στόχος:

• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των πραγματικών  αριθμών.
• Να έχουν μια πρώτη επαφή με τους άρρητους αριθμούς, τον αριθμό π 
• Να γνωρίσουν μερικές από τις ιδιότητες των αριθμών,
• Να γνωρίσουν τους αρτίους και τους περιττούς αριθμού, τους πρώτους αριθμούς και τους τετράγωνους αριθμούς
• Να παίξουν παιχνίδια με τους αριθμούς 

Η παραουσίαση της συνάντησης εδώ

9η Συνάντηση

Συνάντηση 9^η:

Στόχος:

• Να γνωρίσουν τα σύνολα των αριθμών  φυσικούς, ακέραιους , ρητούς/κλασματικούς,  πραγματικούς
• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των ακεραίων και των υπόλοιπων συνόλων αριθμών .
• Να κατανοήσουν τη χρήση των ακεραίων και των ρητών.

Διερεύνηση των ιδεών για του κλασματικούς και τους δεκαδικούς αριθμούς .              

1^ο  Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών με ερωτήσεις του τύπου:

—  Γνωρίζετε  ότι τα κλάσματα, όπως τα χρησιμοποιούμε σήμερα δεν υπήρχαν στην Ευρώπη μέχρι τον 17ο αιώνα;

—  Ποιοι χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά τα  κλάσματα;

—  Γράφονταν πάντα με τον ίδιο τρόπο ;

—  Πώς έφτασαν στην Ευρώπη και από πού;

Στη συνέχεια οι μαθητές παρακολούθησαν  ένα βίντεο με θέμα τη χρήση των κλασματικών αριθμών

Fractions in Real Life   https://www.youtube.com/watch?v=5AVjBFP4MRg

Occupations That Use Fractions 2  https://www.youtube.com/watch?v=nU_kdjeGACI

Fractions in their World https://www.youtube.com/watch?v=jBASkaj0Jz8

Κλήθηκαν  να αναγνωρίσουν κλασματικούς αριθμούς σε μια ποικιλία από καθημερινά πλαίσια και να απαντήσουν στις  ερωτήσεις :

Γιατί μαθαίνουμε για τους κλασματικούς αριθμούς ;

Από πότε χρησιμοποίησαν τους κλασματικούς αριθμούς οι άνθρωποι;

3^ο Σύνολο των ρητών ή κλασματικών αριθμών

Γνωρίζετε  ότι τα κλάσματα, όπως τα χρησιμοποιούμε σήμερα δεν υπήρχαν στην Ευρώπη μέχρι τον 17ο αιώνα;

Ποιοι χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά τα  κλάσματα;

Γράφονταν πάντα με τον ίδιο τρόπο ;

Πώς έφτασαν στην Ευρώπη και από πού;

Ποιοι αριθμοί λέγονται κλάσματα και γιατί ;

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή α/β , όπου α, β ακέραιοι με β ≠0. Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q . Είναι, δηλαδή,

Q = { α/β| α, β ακέραιοι με β ≠ 0 }.

Ιστορία των κλασμάτων  

Το κλάσμα είναι αρχαία ελληνική λέξη και σημαίνει  «κομμάτι» . Η έννοια του κλάσματος μας πηγαίνει στους αρχαίους χρόνους και  είναι σχεδόν αδύνατο να πει κάποιος πότε ακριβώς χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά.

• 1800 π.Χ. ΟΙ Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούν  κλάσματα
• 1650 π. Χ.  Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν μοναδιαία κλάσματα
• 100 μ. Χ. οι Κινέζοι κατέχούν τρόπους για να κάνουν πράξεις με κλάσματα
• 1175-1250 o Fibonacci είναι ο πρώτος Ευρωπαίος μαθηματικός που χρησιμοποίησε  τα κλάσματα με τη μορφή που τα χρησιμοποιούμε και εμείς σήμερα
• Ο 1585 μ.Χ.  Ο φλαμανδικής καταγωγής  μαθηματικός Simon Stevin (1548-1620) πατέρας της νεότερης στατιστικής, επινόησε τους δεκαδικούς αριθμούς ως νέα μέθοδο γραφής των κλασματικών αριθμών. Τους παρουσίασε στο βιβλίο του « Το  Δέκατο 1585»
• 1700μ. Χ. Η γενικεύεται η χρήση των κλασμάτων με τη μορφή x/y .

Είναι αποδεκτό ότι η έννοια των φυσικών αριθμών προέρχεται από την «καταμέτρηση/ απαρίθμηση» και η έννοια των κλασμάτων προέρχεται από τη «μέτρηση». Για την καταμέτρηση/ απαρίθμηση  απαιτείται ολόκληρη / ακέραιη μονάδα μέτρησης , ενώ στις μετρήσεις χρειαζόμαστε πολλές φορές και μέρος της μονάδας ή μονάδες που να μπορούν να σπάσουν σε κομμάτια. 

Με τους φυσικούς αριθμούς μπορούμε να μετρήσουμε διακριτές ποσότητες, αλλά για να μετρήσουμε με ακρίβεια συνεχείς ποσότητες όπως μήκος, χρόνος κλπ χρειαζόμαστε τα κλάσματα, τα οποία μας έδωσαν  τη δυνατότητα να χωρίσουμε τη μονάδα / ολόκληρο σε μικρότερα κομμάτια.

Στοιχεία από τα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της έννοιας του κλάσματος  βρίσκουμε στα  αιγυπτιακά μαθηματικά και η καλύτερη πηγή για να μάθουμε πώς τα χρησιμοποιούσαν είναι ο πάπυρος Rhind (χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ. ). Διαπιστώνουμε ότι τα κλάσματα ήταν πολύ σημαντικά για τους Αιγυπτίους, γιατί από τα 87 προβλήματα που είναι καταγεγραμμένα στον πάπυρο μόνο τα 6 δεν περιέχουν κλάσματα .

http: //www.daviddarling.info/encyclopedia/R/Rhind_papyrus.html

Αιγυπτιακά κλάσματα  smile 1771

Ζεύγη ίσων κλασμάτων smile 2105

ΠΑΙΧΝΊΔΙ  από Matching Fractions http://nrich.maths.org/8283
Για να δείτε την παρουσίαση της συνάντησης πατήστε εδώ 

8η συνάντηση

Συνάντηση 8^η:

Στόχος:

• Να γνωρίσουν τα σύνολα των αριθμών  φυσικούς, ακέραιους ,
• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των ακεραίων
• Να κατανοήσουν τη χρήση των ακεραίων

1^ο  Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών με ερωτήσεις του τύπου:

«Εκτός από τους φυσικούς ποιους άλλους αριθμούς ξέρετε;»

«Πού  και πότε τους χρησιμοποιούμε;» 

Στη συνέχεια οι μαθητές θα παρακολουθήσουν ένα βίντεο με θέμα τη χρήση των αριθμών (http://www.bbc.co.uk/skillswise/topic/number-symbols) και θα κληθούν  να αναγνωρίσουν αριθμούς σε μια ποικιλία από καθημερινά πλαίσια και να απαντήσουν στην ερώτηση : Γιατί μαθαίνουμε τα σύμβολα των αριθμών; 

Οι μαθητές θα αναγνωρίσουν ακέραιους και δεκαδικούς αριθμούς

Διερεύνηση των ιδεών για του ακέραιους και τους δεκαδικούς αριθμούς .                    

Ποιο ήταν το πρώτο σύνολο αριθμών που χρησιμοποίησαν οι άνθρωποι;

1^Ο Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών : Ν {0,1,2,3,4,…}

 Το πρώτο σύνολο αριθμών που δημιούργησαν οι άνθρωποι  ήταν οι φυσικοί αριθμοί. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι τους φυσικούς αριθμούς τους δημιούργησαν για να αριθμήσουν αντικείμενα της καθημερινής ζωής .

2ο Σύνολο των Ακεραίων αριθμών : Ζ = {......., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,.......},

Οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν ονομάζονται θετικοί , ενώ οι μικρότεροι από το μηδέν λέγονται αρνητικοί. Σε κινέζικες μήτρες / πίνακες  εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στην ιστορία αρνητικοί αριθμοί. Οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν δύο ομάδες ράβδων για τους υπολογισμούς τους: κόκκινες για τους θετικούς και μαύρες για τους αρνητικούς. Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνταν για εμπορικούς σκοπούς και υπολογισμούς της φορολογίας. Το ποσό που δηλώνει πώληση θετικό (λόγω της παραλαβής των χρημάτων) και το ποσό που δαπανήθηκε για αγορά ήταν αρνητικό.

 Πέρα από την Κίνα δε συναντούσε κανείς συχνά αρνητικούς αριθμούς έως το 16^ο αιώνα μ.Χ. , ενώ στην εποχή μας οι ακέραιοι αριθμοί χρησιμοποιούνται σχεδόν καθημερινά. Στις χρηματαγορές / χρηματιστήριο, όπου καθημερινά δισεκατομμύρια μετοχές και τίτλοι αλλάζουν χέρια, τα ποσά μεταφέρονται σε τραπεζικούς λογαριασμούς με μορφή θετικών ή αρνητικών  αριθμών –χωρίς άμεση ανταλλαγή χαρτονομισμάτων ή τραπεζογραμμάτιων(C. Verderman, 1998)

 Στην Ινδία, οι αρνητικοί αριθμοί εμφανίστηκαν περίπου το  620 μ.Χ. στο έργο του Brahmagupta (598-670), ο οποίος χρησιμοποίησε τις ιδέες  «όφελος » και «χρέος» για τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς αντίστοιχα. Ο Brahmagupta χρησιμοποίησε ένα ειδικό σύμβολο για τους αρνητικούς αριθμούς και ανέφερε τους κανόνες για τις πράξεις με ακέραιους αριθμούς:

Αν από ένα χρέος αφαιρέσεις το μηδέν έχεις πάλι χρέος.

Αν από ένα όφελος αφαιρέσεις το μηδέν έχεις πάλι όφελος

Μηδέν μείον μηδέν είναι μηδέν.

Ένα χρέος που αφαιρείται από το μηδέν γίνεται όφελος.

Ένα όφελος που αφαιρείται από το μηδέν γίνεται κέρδος .

Όταν το μηδέν πολλαπλασιάζεται με ένα χρέος ή ένα όφελος το αποτέλεσα είναι μηδέν κ.ά.

  http://nrich.maths.org/5961

Δραστηριότητα 2 η  παιχνίδι δαπέδου από (C. Verderman, 1998) σελ 32

Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί, ως επί το πλείστον, αντιστάθηκαν στην ιδέα των αρνητικών αριθμών μέχρι τον 17ο αιώνα, αν και ο Fibonacci επέτρεψε τις αρνητικές λύσεις στα οικονομικά προβλήματα που θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως χρέη (chapter 13 of Liber Abaci, 1202) και αργότερα ως ζημίες.(Flos). http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82

• παραδείγματα ακεραίων αριθμών:
• οι ακέραιοι στην καθημερινή ζωή https://www.youtube.com/watch?v=0Yevn2t8wLg
• BBC Weather 17th December 2009: Snow showers in the east https://www.youtube.com/watch?v=9dmUNY6mM

Για να δείτε τη παρουσίαση πατήστε εδώ