7η συνάντηση

7^η Συνάντηση

Θέματα:

Από την αριθμητική στη μαθηματική επιστήμη. (Σύντομη ματιά στην ιστορία των μαθηματικών). Οι αριθμοί είναι  παντού.  Πού  χρησιμοποιούμε τους αριθμούς; Ποιοι ήταν οι λόγοι που αναπτύχθηκε  η μαθηματική επιστήμη;

Όταν οι άνθρωποι έμαθαν τι είναι οι αριθμοί και πώς λειτουργούν, άρχισαν να τους χρησιμοποιούν :

•      Στη μέτρηση του χρόνου -ημερολόγιο

•       Στο εμπόριο/ από τις ανταλλαγές αγαθών και υπηρεσιών στα πρώτα κέρματα και χαρτονομίσματα  (ιστορία του χρήματος  )

•      Στο εμπόριο /βρήκαν πώς να ζυγίζουν τα αγαθά που αγόραζαν και πουλούσαν

•      Στη μέτρηση μήκους, ύψους, για την κατασκευή κτιρίων  και μνημείων . 

•      Μέτρηση του μεγέθους της γης και της απόσταση της γης από τη Σελήνη κ.ά. 

•     Μελετήσαμε το παράδειγμα της  «Μέτρησης του χρόνου»

Νομίζετε ότι οι αρχαίοι νοιάζονταν για να μετρήσουν το χρόνο;

Απλώς μάντευαν!

Μάντευαν την ώρα της ημέρας ή  την εποχή. Μάντευαν το χρόνο που χρειάζονταν για να περπατήσουν μια απόσταση ή πόσα ξύλα ή πόση τροφή έπρεπε να κουβαλήσουν στο σπίτι .



http://www.slideboom.com/presentations/1177845/7%CE%B7-%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CE%BD%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7

6η Συνάντηση:

Συνάντηση 6^η:

Στόχος:

• Να κατανοήσουν ότι ο συμβολισμός του μηδενός και η καθημερινή χρήση του είναι από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του ανθρώπινου νου

• Να μάθουν την ιστορία του μηδενός και να θυμηθούν την ιστορία των αριθμητικών συστημάτων

• Να μάθουν ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να κάνουμε υπολογισμούς, ότι οι αλγόριθμοι των πράξεων που μαθαίνουμε στο σχολείο δεν είναι οι μοναδικοί.

• Να κατανοήσουν πώς από την αριθμητική πήγαμε στην μαθηματική επιστήμη. Ποιοι ήταν οι λόγοι που αναπτύχθηκε η μαθηματική επιστήμη

Δραστηριότητα 1^η (παιχνίδι με την ιστορία του μηδενός )

• Στόχος είναι να μάθουν την ιστορία του μηδενός και να κατανοήσουν ότι ο συμβολισμός του μηδενός και η καθημερινή χρήση του είναι από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του ανθρώπινου νου

 Υλικά:

 Ιστορικός χάρτης της Μεσογείου

Κάρτες με την ιστορία του μηδενός

(6 ζευγάρια καρτών –κάθε ζευγάρι κάρτας έχει το ίδιο περιεχόμενο. Μπροστά την  εικόνα  ενός αντικείμενου ή προσώπου που συνδέεται με την ιστορία των αριθμών και από πίσω πληροφορίες με τις σπουδαιότερες φάσεις της ιστορίας του μηδενός )

Τα παιδιά κάθισαν γύρω από το  χάρτη της Μεσογείου και επέλεξαν μία κάρτα (στην συνάντηση  συμμετείχαν 10 μαθητές , οπότε έπαιξε και ένα ζευγάρι φοιτητών ). Στη συνέχεια έψαξαν  να βρουν το ζευγάρι τους δηλ. αυτόν /η που είχε  ίδια κάρτα ) με αυτούς.  Κάθε ζευγάρι διάβασε το περιεχόμενο της κάρτας του και αφού κουβέντιασαν μεταξύ τους τοποθέτησαν τις κάρτες τους (τη μία από τις δύο σε  χρονολογική  σειρά). Στη συνέχεια το πρώτο ζευγάρι (κατά χρονολογική σειρά )έδειξε τη φωτογραφία της κάρτας του και έθεσε ερωτήσεις στους υπόλοιπους του τύπου:

Τι είναι; Από πού είναι; Αναγνωρίζετε το πρόσωπο της εικόνας κτλ.  

Το ζευγάρι που είχε την κάρτα διάβαζε το περιεχόμενο της κάρτας και έδινε τη σειρά του στους επόμενους.

Στο τέλος μπήκαν όλες οι κάρτες σε χρονολογική σειρά.    

Δραστηριότητα 2^η

Τι είναι το μηδέν;(παρουσίαση )

Ø  Η λέξη «μηδέν», έχει αρχαιοελληνική προέλευση (μηδέ εν) και σημαίνει: ούτε καν ένα, τίποτα απολύτως , κενό.

Ø  Το σύμβολο «0» προέρχεται από την Ινδία .

Ø  Το 830μ.Χ. ο ΑΛ ΧΟΥΑΡΊΖΜΙ ανέλυσε το ινδικό σύστημα αρίθμησης,  αλλά πέρασαν 400 χρόνια για να γίνει γνωστό το έργο του στη Δύση .

Ø  Το μηδέν προβλημάτισε τους στοχαστές .

Ø  Είναι ένα αριθμός ή απλώς ένα σύμβολο; Αν αντιπροσωπεύει πραγματικά το τίποτε , τότε γιατί να το συμπεριλάβουμε στους υπόλοιπους αριθμούς σαν να είναι υπαρκτή οντότητα;

Ø  Στο βιβλίο του liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, Ο Λεονάρντο της Πίζας, ή Φιμπονάτσι (1180- 1250) υποστήριξε ότι μπορούμε να συλλάβουμε το μηδέν ως συμπλήρωμα της κενής θέσης , που διαχωρίζει αριθμούς ή στήλες.

Ø  Το μηδέν μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει μια ένδειξη βαθμονομημένης κλίμακας . π.χ. το μηδέν αντιπροσωπεύει μια συγκεκριμένη ένδειξη του θερμόμετρου και δε σημαίνει «όχι θερμοκρασία» (αναφορά στους ακέραιους )

Παραδείγματα με το μηδέν /Μελετώντας το μηδέν

Υπολογισμοί με το μηδέν

8+0=                      (ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση )

8-0=

12x0=                   (απορροφητικό στοιχείο στον πολλαπλασιασμό )

12:0=                  (με το κομπιουτεράκι)

Η θέση του μηδενός :

Το μηδέν δε σημαίνει πάντα τίποτα

Όταν το μηδέν τοποθετείται δεξιά από ένα αριθμό τότε ο αρχικός αριθμός πολλαπλασιάζεται με το δέκα.

Το μηδέν ένας αριθμός με ιδιαίτερη συμπεριφορά

Πόσο κάνει

1x2x3x4x5x6x7x8x9x0=

Οι αριθμοί του κόσμου

Οι άνθρωποι χρησιμοποίησαν εκατοντάδες αριθμητικά συστήματα

(σχετική διαφάνεια )

Γιατί επιλέξαμε το δεκαδικό σύστημα των Ινδών.

Σήμερα χρησιμοποιούμε το Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης γιατί μπορούμε να ονομάσουμε όλους του φυσικούς αριθμούς, όσο μεγάλοι και να είναι και να κάνουμε εύκολα υπολογισμούς .

Οι υπολογισμοί στην ιστορία  (παρουσίαση )

Με πόσους τρόπους μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς

Συζητάμε

Ø  Θυμόμαστε πώς έκαναν πράξεις οι Βαβυλώνιου και οι Αιγύπτιοι (σχετικές παρουσιάσεις )

Το σύστημα των Αιγυπτίων που χρονολογείται γύρω στο 2000π.χ. ήταν αδέξιο , καθώς οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις πραγματοποιούνται με επαναλαμβανόμενες  προσθέσεις και αφαιρέσεις

Περίπου ταυτόχρονα οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν πίνακες για τον πολλαπλασιασμό , για τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών. Αυτά τα συστήματα κράτησαν αιώνες, ως το 600ακόμη και το 400π.Χ.

Ø  Αυτή την περίοδο οι Έλληνες μαθηματικοί , όπως ο Πυθαγόρας , ο Θαλής ο Μιλήσιος και ο Πλάτωνας διαχωρίζουν την αριθμητική , ως θεωρία αριθμών από τη λογιστική , την τεχνική των απολογισμών που αποτελούν ζωτικό εργαλείο των έμπορων και των ναυτικών

Ø  Περίπου τον ίδιο καιρό οι Κινέζοι υιοθετούν τον άβακα που χρησιμοποιεί το δεκαδικό σύστημα

Ø  Από την πλευρά τους οι Ινδοί επινόησαν τεχνικές για τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και το σύστημα τους υιοθετήθηκε από τους Άραβες το 800μ.Χ.

Από τότε οι μέθοδοι έγιναν πιο περίτεχνες, με εφαρμογές στο εμπόριο και τη διοίκηση.

Δραστηριότητα 4^η

1. Video(από Κυριακή) με αραβικό πολλαπλασιασμό https://www.youtube.com/watch?v=zAeMgWwKEtU
2. Καρτέλες smile:   Gelosia 0174 και  1761
3.  Καρτέλα smile: οι ράβδοι του Napier 0066    (ποιος ήταν ο Napier ) 

Κλείσαμε  με το επιτραπέζιο για τη ιστορία των αριθμών.

Για να δείτε την παρουσίαση πατήστε εδώ 

5η Συνάντηση

Συνάντηση 5^η:

Στόχος:

Οι μαθητές :

Να κατανοήσουν τα πλεονεκτήματα των θεσιακών συστημάτων αρίθμησης στην ονοματολογία  μεγάλων αριθμών και  για την εκτέλεση υπολογισμών.

Να κατανοήσουν τα πλεονεκτήματα του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης ( η χρήση της βάσης του 10) στην ονοματολογία  μεγάλων αριθμών και  στην εκτέλεση υπολογισμών.

Να κατανοήσουν τη σημασία της χρήσης του «μηδενός» στην ονοματολογία  μεγάλων αριθμών και  στην εκτέλεση υπολογισμών

Σύνδεση με τα προηγούμενα

Τι έκαναν οι άνθρωποι με τους αριθμούς;

• Με τους αριθμούς αριθμούσαν (Οι αριθμοί επινοήθηκαν στις απαρχές της ανθρωπότητας για να απαντήσουν στο ερώτημα : «πόσα;» π.χ. «Πόσα παιδιά στη φυλή», «Πόσα πρόβατα στο κοπάδι»
• Μετρούσαν μεγέθη (π.χ. οι Αιγύπτιοι, αποστάσεις, επιφάνειες)
• Υπολόγιζαν (σοδειές, το χρόνο, γωνίες , «Πόσες ήμερες πριν ήρθε η Πανσέληνος»

Πόσοι αριθμοί υπάρχουν ;

Άπειροι

Απόδειξη «δια της εις άτοπον απαγωγής»

Έστω ότι υπάρχει  κάποιος φυσικός αριθμός  Α, που είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός.

 Εφόσον ο Α είναι φυσικός αριθμός , ο Α+1 είναι επίσης φυσικός αριθμός .

Όμως ο Α+1 είναι μεγαλύτερος από τον Α.

Αυτό αντιφάσκει στην αρχική μου παραδοχή , ότι δηλαδή ο Α είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός.

Επομένως,  δεν υπάρχει ΜΕΓΙΣΤΟΣ φυσικός αριθμός και οι φυσικοί αριθμοί είναι  ΑΠΕΙΡΟΙ.

Αφού υπάρχουν άπειροι αριθμοί πώς μπορούμε να τους ονομάσουμε όλους

«Από τη μεριά του Ο Αχμές έσπευσε να γράψει σ΄ ένα καινούριο φύλλο του σημειωματάριου που τους είχε χαρίσει ο Πανέμπ:  «1.422.000» κατσίκες !Όλες οι ποσότητες έχουν έναν αριθμό. Ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός ;»

Όλοι οι πολιτισμοί αντιμετώπισαν  το ερώτημα πώς ονομάζουμε τους μεγάλους αριθμούς

Ας υποθέσουμε ότι δίνουμε  ονόματα στην τύχη,  όπως οι Αιγύπτιοι στα ψηφία.

ΤΙ ΘΑ ΓΊΝΕΙ;

Σύντομα θα  φτάσουμε στο σημείο να μη θυμόμαστε ποιο όνομα αντιστοιχεί σε ποιον αριθμό

Δραστηριότητα1η

 «Ονομάστε τους αριθμούς στις πινακίδες που φτιάξατε (πηγαίνουμε να ονομάσουμε τους βαβυλωνιακού και τους Αιγυπτιακούς αριθμούς)

Τι πρέπει να θυμηθούμε;

Πώς καταφέρνουμε να ονομάζουμε τους αριθμούς;Οι μαθητές ανατρέχουν/αξιοποιούν  το 3^ο φύλλο εργασίας. 

 

 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΝΟΗΣΕΙΣ: Βαβυλώνιων, Αιγυπτίων και Ίνκας

Βαβυλώνιοι

Οι Σουμέριοι  (Struik, 1982) χρησιμοποιούσαν το ίδιο σύμβολο για να δηλώσουν τις διάφορες εξηνταδικές τάξεις. Έτσι η σημασία του συμβόλου εξαρτιόταν από τη θέση του .

π.χ.

  Αν το 1 ακολουθούσε το 1 τότε είχαμε τον αριθμό 61,

ενώ

το 5 ακολουθούμενο από το 6 και από το 3 δηλ 5,6,3,

 σήμαινε 5x60²+6x60+3=18.363

Μοιάζει πολύ με το δεκαδικό

3x10²+4x10+3=343

Ένα τέτοιο σύστημα βοηθά πολύ στους υπολογισμούς

Κάποιες αριθμήσεις είναι ευφυείς, ενώ άλλες άκομψες και δύσχρηστες

Πράξεις στο Ρωμαϊκό σύστημα και στο δεκαδικό

Δραστηριότητα 2^η

Από το Smile: ρωμαϊκοί αριθμοί 1411

Δραστηριότητα 3^η

Θέμα : «Οι Έλληνες και Ρωμαίοι χρησιμοποιούσαν αριθμήσεις δύσχρηστες»

Οι μαθητές μελετούν τη διαφάνεια και απαντούν

Γιατί επιλέξαμε το δεκαδικό σύστημα των Ινδών;

Σήμερα χρησιμοποιούμε το Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης γιατί μπορούμε να ονομάσουμε όλους του φυσικούς αριθμούς, όσο μεγάλοι και να είναι και για να κάνουμε εύκολα υπολογισμούς 

Για να δείτε την παρουσίαση πατήστε εδώ 

4η Συνάντηση

Συνάντηση 4^η: Σύγκριση  των αριθμητικών συστημάτων των  Βαβυλώνιων , των Αιγυπτίων και των Ίνκας και ανάδειξη των δομικών στοιχείων του δεκαδικού συστήματος.

Στόχος:

Οι μαθητές :

Να κατανοήσουν πώς το κοινωνικοπολιτικό περιβάλλον καθόρισε και διαμόρφωσε τα μαθηματικά που χρησιμοποίησαν οι τρεις αυτοί λαοί

Να συγκρίνουν τα δομικά και σημασιολογικά στοιχεία γραφής και ανάγνωσης αριθμών των αριθμητικών συστημάτων και τη δυνατότητα εκτέλεσης πράξεων.

Να εκτιμήσουν τις ιδιότητες των πράξεων των αριθμών στα διαφορετικά αριθμητικά συστήματα και να βρουν ομοιότητες και διαφορές  με τους αλγόριθμους που χρησιμοποιούμε σήμερα .

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

• ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ (καθόμαστε σε κύκλο )

Μοιράσαμε 11 κάρτες, όσοι και οι μαθητές, με εικόνες από τα αριθμητικά συστήματα και συζητήσαμε με αφορμή το θέμα της κάθε εικόνας  (ανάδειξη των ιδεών που διαπραγματευτήκαμε την προηγούμενη φορά)

Ενημέρωση της ομάδας στην ολομέλεια για το θέμα της συνάντησης.

1^η δραστηριότητα

Παρουσίαση του βιβλίου  του Τεύκρου Μιχαηλίδη,  Αχμές ο γιος του φεγγαριού*

Διαβάσαμε  το απόσπασμα (σελ. 58-67) από βιβλίο του Μιχαηλίδη,  Αχμές ο γιος του φεγγαριού, σελ. 58-67 για να αναδειχτούν :

 Α. Το κοινωνικοπολιτικό περιβάλλον που καθόρισε και διαμόρφωσε τα μαθηματικά που χρησιμοποίησαν οι Αιγύπτιοι

Β.  Τα δομικά και σημασιολογικά στοιχεία γραφής και ανάγνωσης αριθμών του αριθμητικού συστήματος  των Αιγυπτίων(αρχή της επανάληψης, βάση το 10, αρχή της πρόσθεσης, για να εκτιμήσουν έναν αριθμό πρόσθεταν τους αριθμούς που παρίσταναν τα σύμβολα.)

Γ. οι ομοιότητες και οι διαφορές  με το σημερινό αριθμητικό σύστημα

Π.χ.

Ο αριθμός 243 εκτιμάται ως 2x100+4x10+3 (στο σύστημα μας υπάρχει πολλαπλασιαστική αρχή , βάση το 10 και σύστημα θέσης

Οι αδυναμίες του συστήματος των Αιγυπτίων (δεν μπορούσαν να γράψουν πολύ μεγάλους αριθμούς)

2^η δραστηριότητα

Φύλλο εργασίας 4

3^η δραστηριότητα

 Ακολούθησε βιωματική δράση/εργαστήριο που περιελάμβανε τρεις σταθμούς :

Των Βαβυλώνιων

Των Αιγυπτίων και

των Ίνκας

Οι μαθητές  πέρασαν και από  τους τρεις σταθμούς και αφού μελετούσαν με τη βοήθεια των Συνεργατών φοιτητών,   το εποπτικό υλικό που αφορούσε τον πολιτισμό, τρόπο ζωής του κάθε λαού  και τα χαρακτηριστικά του αριθμητικού συστήματος,  στη συνέχεια κατασκεύασαν πινακίδες , παπύρους και κουϊπού με αριθμούς .

(όλοι κυκλικά πέρασαν  και από τους τρεις  σταθμούς)**

Στην επόμενη συνάντηση θα προσπαθήσουν να αποκρυπτογραφήσουν,  ο έναν τον αριθμό του άλλου.

προετοιμασία της τάξης 

Η ομάδα των Βαβυλωνίων φτιάχνει πήλινες πινακίδες

Η ομάδα των Ίνκα φτιάχνει Κουϊπού 

Η ομάδα των Αιγυπτίων γράφει σε παπύρους και πήλινες πινακίδες

τα έργα των μαθητών 

3η Συνάντηση

Συνάντηση 3^η: Διερεύνηση των αριθμητικών συστημάτων των  Βαβυλώνιων , των Αιγυπτίων και των Ίνκας.

Η αξία θέσης ψηφίου είναι πιθανόν να μην έχει αποσαφηνιστεί ακόμη και μέχρι το τέλος της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, γεγονός που μπορεί να επιφέρει δυσκολίες στους μαθητές κατά την εκτέλεση πράξεων με φυσικούς αριθμούς. Συνεπώς, είναι σημαντικό να διασφαλιστεί η κατανόηση της θεσιακής αξίας των ψηφίων από όλους τους μαθητές, μέσω κατάλληλα οργανωμένων δραστηριοτήτων που αναδεικνύουν δομικά και σημασιολογικά στοιχεία του δεκαδικού συστήματος γραφής και ανάγνωσης αριθμών κατανόηση της θεσιακής αξίας των ψηφίων και τη δυνατότητα εκτέλεσης πράξεων.

Κατανόηση της αξίας των ψηφίων:

Αρκετοί μαθητές αδυνατούν να διαχειριστούν με σαφήνεια το θέμα της θεσιακής αξίας των ψηφίων, ακόμη και στην αρχή της φοίτησής τους στο Γυμνάσιο, γεγονός που ενδεχομένως να τους δυσκολεύει στηνεκτέλεση πράξεων με φυσικούς αριθμούς. Η σχετική βιβλιογραφία προτείνει την αξιοποίηση δραστηριοτήτων που αναδεικνύουν δομικά και σημασιολογικά στοιχεία του δεκαδικού συστήματος γραφής και ανάγνωσης αριθμών από τις πρώτες κιόλας τάξεις του Δημοτικού Σχολείου.

Δομικές ιδιότητες των φυσικών αριθμών: Για να μπορέσει ο μαθητής να εκτιμήσει

τις δομικές ιδιότητες των αριθμών, θα πρέπει να είναι σε θέση να αντιλαμβάνεται τους αριθμούς ως αυθύπαρκτες οντότητες, ανεξάρτητες από το πλαίσιο στο οποίο εμφανίζονται. Η έρευνα δείχνει ότι τα πρώτα βήματα προς αυτήν την κατεύθυνση εντοπίζονται από την ηλικία των 6 χρόνων. Ωστόσο, η γενίκευση αυτών των ιδιοτήτων δεν αναμένεται πριν την ηλικία των 9 χρόνων. Προς το τέλος της φοίτησής τους στο Δημοτικό Σχολείο οι μαθητές αναμένεται να είναι σε θέση τουλάχιστον να αναγνωρίζουν και να αποδέχονται τις παραπάνω ιδιότητες. Ωστόσο, αυτό δε συμβαίνει για όλους τους μαθητές. το γεγονός ότι οι αλγόριθμοι αυτοί διδάσκονται συνήθως ως ένα σύνολο κανόνων, χωρίς πάντοτε σαφή αιτιολογία και επεξήγηση και χωρίς να συνδέονται με την προηγούμενη αριθμητική γνώση των μαθητών, αντί να ενθαρρύνει την ουσιαστική κατανόηση του αριθμητικού συστήματος, ευνοεί την αντίληψη ότι τα μαθηματικά είναι μια συλλογή μυστηριωδών και αυθαίρετων, στην πλειοψηφία τους, κανόνων.

Στόχος:

Να κατανοήσουν οι μαθητές πώς το κοινωνικοπολιτικό περιβάλλον καθόρισε και διαμόρφωσε τα μαθηματικά που χρησιμοποίησαν οι τρεις αυτοί λαοί

Να εκτιμήσουν οι μαθητές τις δομικές ιδιότητες των αριθμών στα διαφορετικά αριθμητικά συστήματα,  έτσι ώστε  να είναι σε θέση να αντιλαμβάνονται τους αριθμούς ως αυθύπαρκτες οντότητες, ανεξάρτητες από το πλαίσιο στο οποίο εμφανίζονται.

 

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

Τι είπαμε την προηγούμενη φορά ;

Ποια είναι η βάση του δεκαδικού αριθμητικού συστήματος (έννοια)

Ενημέρωση της ομάδας στην ολομέλεια για το θέμα της συνάντησης.

Αρχικά παρατηρήσαμε το χάρτη

και συζητήσαμε, για τους αρχαίους πολιτισμούς και τα γεωμορφολογικά χαρακτηριστικά των περιοχών (ποτάμια οροπέδια κ.λπ.) που ευνόησαν την ανάπτυξη τους.

Στη συνέχεια χωριστήκαμε  σε ομάδες:

1. Μπλε ομάδα Βαβυλώνιοι (2.000π.Χ-538π.Χ)
2. Κίτρινη ομάδα    Αιγύπτιοι(5.000π.Χ-332π.Χ)
3. Πράσινη ομάδα Ίνκας (1410-1530 μ.Χ)

Κάθε ομάδα πήρε ένα φάκελο με το παρακάτω υλικό:

• ένα χάρτη της περιοχής
• ένα ppt  ή βίντεο για το κοινωνικοπολιτιστικό περιβάλλον  ανθρώπων 
• υλικό για το αριθμητικό σύστημα και προβλήματα

Ομάδα Βαβυλώνιων 

Ομάδα των Ίνκα

Ομάδα Αιγυπτίων 

Η συζήτηση στις ομάδες ανέδειξε:

- το κοινωνικοπολιτιστικό περιβάλλον που ευνόησε το κάθε αριθμητικό σύστημα

-Τα χαρακτηριστικά του αριθμητικού συστήματος (βάση, θεσιακό,  ψηφιακό)

-Πού χρησιμοποιούσαν τους αριθμούς; (Όλοι στο εμπόριο και στις συναλλαγές )

…με σκοπό να φανούν οι ομοιότητες και οι διαφορές των αριθμητικών συστημάτων καθώς και ιδιότητες των πράξεων.  

Αφού μελέτησε το υλικό της, κάθε ομάδα έφτιαξε το δικό της κολλάζ και το παρουσίασε στις υπόλοιπες.