10η συναντηση

10^η Συνάντηση

Θέμα: Ιδιότητες των αριθμών

 Στόχος:

• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των πραγματικών  αριθμών.
• Να έχουν μια πρώτη επαφή με τους άρρητους αριθμούς, τον αριθμό π 
• Να γνωρίσουν μερικές από τις ιδιότητες των αριθμών,
• Να γνωρίσουν τους αρτίους και τους περιττούς αριθμού, τους πρώτους αριθμούς και τους τετράγωνους αριθμούς
• Να παίξουν παιχνίδια με τους αριθμούς 

Η παραουσίαση της συνάντησης εδώ

9η Συνάντηση

Συνάντηση 9^η:

Στόχος:

• Να γνωρίσουν τα σύνολα των αριθμών  φυσικούς, ακέραιους , ρητούς/κλασματικούς,  πραγματικούς
• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των ακεραίων και των υπόλοιπων συνόλων αριθμών .
• Να κατανοήσουν τη χρήση των ακεραίων και των ρητών.

Διερεύνηση των ιδεών για του κλασματικούς και τους δεκαδικούς αριθμούς .              

1^ο  Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών με ερωτήσεις του τύπου:

—  Γνωρίζετε  ότι τα κλάσματα, όπως τα χρησιμοποιούμε σήμερα δεν υπήρχαν στην Ευρώπη μέχρι τον 17ο αιώνα;

—  Ποιοι χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά τα  κλάσματα;

—  Γράφονταν πάντα με τον ίδιο τρόπο ;

—  Πώς έφτασαν στην Ευρώπη και από πού;

Στη συνέχεια οι μαθητές παρακολούθησαν  ένα βίντεο με θέμα τη χρήση των κλασματικών αριθμών

Fractions in Real Life   https://www.youtube.com/watch?v=5AVjBFP4MRg

Occupations That Use Fractions 2  https://www.youtube.com/watch?v=nU_kdjeGACI

Fractions in their World https://www.youtube.com/watch?v=jBASkaj0Jz8

Κλήθηκαν  να αναγνωρίσουν κλασματικούς αριθμούς σε μια ποικιλία από καθημερινά πλαίσια και να απαντήσουν στις  ερωτήσεις :

Γιατί μαθαίνουμε για τους κλασματικούς αριθμούς ;

Από πότε χρησιμοποίησαν τους κλασματικούς αριθμούς οι άνθρωποι;

3^ο Σύνολο των ρητών ή κλασματικών αριθμών

Γνωρίζετε  ότι τα κλάσματα, όπως τα χρησιμοποιούμε σήμερα δεν υπήρχαν στην Ευρώπη μέχρι τον 17ο αιώνα;

Ποιοι χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά τα  κλάσματα;

Γράφονταν πάντα με τον ίδιο τρόπο ;

Πώς έφτασαν στην Ευρώπη και από πού;

Ποιοι αριθμοί λέγονται κλάσματα και γιατί ;

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή α/β , όπου α, β ακέραιοι με β ≠0. Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q . Είναι, δηλαδή,

Q = { α/β| α, β ακέραιοι με β ≠ 0 }.

Ιστορία των κλασμάτων  

Το κλάσμα είναι αρχαία ελληνική λέξη και σημαίνει  «κομμάτι» . Η έννοια του κλάσματος μας πηγαίνει στους αρχαίους χρόνους και  είναι σχεδόν αδύνατο να πει κάποιος πότε ακριβώς χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά.

• 1800 π.Χ. ΟΙ Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούν  κλάσματα
• 1650 π. Χ.  Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν μοναδιαία κλάσματα
• 100 μ. Χ. οι Κινέζοι κατέχούν τρόπους για να κάνουν πράξεις με κλάσματα
• 1175-1250 o Fibonacci είναι ο πρώτος Ευρωπαίος μαθηματικός που χρησιμοποίησε  τα κλάσματα με τη μορφή που τα χρησιμοποιούμε και εμείς σήμερα
• Ο 1585 μ.Χ.  Ο φλαμανδικής καταγωγής  μαθηματικός Simon Stevin (1548-1620) πατέρας της νεότερης στατιστικής, επινόησε τους δεκαδικούς αριθμούς ως νέα μέθοδο γραφής των κλασματικών αριθμών. Τους παρουσίασε στο βιβλίο του « Το  Δέκατο 1585»
• 1700μ. Χ. Η γενικεύεται η χρήση των κλασμάτων με τη μορφή x/y .

Είναι αποδεκτό ότι η έννοια των φυσικών αριθμών προέρχεται από την «καταμέτρηση/ απαρίθμηση» και η έννοια των κλασμάτων προέρχεται από τη «μέτρηση». Για την καταμέτρηση/ απαρίθμηση  απαιτείται ολόκληρη / ακέραιη μονάδα μέτρησης , ενώ στις μετρήσεις χρειαζόμαστε πολλές φορές και μέρος της μονάδας ή μονάδες που να μπορούν να σπάσουν σε κομμάτια. 

Με τους φυσικούς αριθμούς μπορούμε να μετρήσουμε διακριτές ποσότητες, αλλά για να μετρήσουμε με ακρίβεια συνεχείς ποσότητες όπως μήκος, χρόνος κλπ χρειαζόμαστε τα κλάσματα, τα οποία μας έδωσαν  τη δυνατότητα να χωρίσουμε τη μονάδα / ολόκληρο σε μικρότερα κομμάτια.

Στοιχεία από τα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της έννοιας του κλάσματος  βρίσκουμε στα  αιγυπτιακά μαθηματικά και η καλύτερη πηγή για να μάθουμε πώς τα χρησιμοποιούσαν είναι ο πάπυρος Rhind (χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ. ). Διαπιστώνουμε ότι τα κλάσματα ήταν πολύ σημαντικά για τους Αιγυπτίους, γιατί από τα 87 προβλήματα που είναι καταγεγραμμένα στον πάπυρο μόνο τα 6 δεν περιέχουν κλάσματα .

http: //www.daviddarling.info/encyclopedia/R/Rhind_papyrus.html

Αιγυπτιακά κλάσματα  smile 1771

Ζεύγη ίσων κλασμάτων smile 2105

ΠΑΙΧΝΊΔΙ  από Matching Fractions http://nrich.maths.org/8283
Για να δείτε την παρουσίαση της συνάντησης πατήστε εδώ 

8η συνάντηση

Συνάντηση 8^η:

Στόχος:

• Να γνωρίσουν τα σύνολα των αριθμών  φυσικούς, ακέραιους ,
• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των ακεραίων
• Να κατανοήσουν τη χρήση των ακεραίων

1^ο  Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών με ερωτήσεις του τύπου:

«Εκτός από τους φυσικούς ποιους άλλους αριθμούς ξέρετε;»

«Πού  και πότε τους χρησιμοποιούμε;» 

Στη συνέχεια οι μαθητές θα παρακολουθήσουν ένα βίντεο με θέμα τη χρήση των αριθμών (http://www.bbc.co.uk/skillswise/topic/number-symbols) και θα κληθούν  να αναγνωρίσουν αριθμούς σε μια ποικιλία από καθημερινά πλαίσια και να απαντήσουν στην ερώτηση : Γιατί μαθαίνουμε τα σύμβολα των αριθμών; 

Οι μαθητές θα αναγνωρίσουν ακέραιους και δεκαδικούς αριθμούς

Διερεύνηση των ιδεών για του ακέραιους και τους δεκαδικούς αριθμούς .                    

Ποιο ήταν το πρώτο σύνολο αριθμών που χρησιμοποίησαν οι άνθρωποι;

1^Ο Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών : Ν {0,1,2,3,4,…}

 Το πρώτο σύνολο αριθμών που δημιούργησαν οι άνθρωποι  ήταν οι φυσικοί αριθμοί. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι τους φυσικούς αριθμούς τους δημιούργησαν για να αριθμήσουν αντικείμενα της καθημερινής ζωής .

2ο Σύνολο των Ακεραίων αριθμών : Ζ = {......., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,.......},

Οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν ονομάζονται θετικοί , ενώ οι μικρότεροι από το μηδέν λέγονται αρνητικοί. Σε κινέζικες μήτρες / πίνακες  εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στην ιστορία αρνητικοί αριθμοί. Οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν δύο ομάδες ράβδων για τους υπολογισμούς τους: κόκκινες για τους θετικούς και μαύρες για τους αρνητικούς. Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνταν για εμπορικούς σκοπούς και υπολογισμούς της φορολογίας. Το ποσό που δηλώνει πώληση θετικό (λόγω της παραλαβής των χρημάτων) και το ποσό που δαπανήθηκε για αγορά ήταν αρνητικό.

 Πέρα από την Κίνα δε συναντούσε κανείς συχνά αρνητικούς αριθμούς έως το 16^ο αιώνα μ.Χ. , ενώ στην εποχή μας οι ακέραιοι αριθμοί χρησιμοποιούνται σχεδόν καθημερινά. Στις χρηματαγορές / χρηματιστήριο, όπου καθημερινά δισεκατομμύρια μετοχές και τίτλοι αλλάζουν χέρια, τα ποσά μεταφέρονται σε τραπεζικούς λογαριασμούς με μορφή θετικών ή αρνητικών  αριθμών –χωρίς άμεση ανταλλαγή χαρτονομισμάτων ή τραπεζογραμμάτιων(C. Verderman, 1998)

 Στην Ινδία, οι αρνητικοί αριθμοί εμφανίστηκαν περίπου το  620 μ.Χ. στο έργο του Brahmagupta (598-670), ο οποίος χρησιμοποίησε τις ιδέες  «όφελος » και «χρέος» για τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς αντίστοιχα. Ο Brahmagupta χρησιμοποίησε ένα ειδικό σύμβολο για τους αρνητικούς αριθμούς και ανέφερε τους κανόνες για τις πράξεις με ακέραιους αριθμούς:

Αν από ένα χρέος αφαιρέσεις το μηδέν έχεις πάλι χρέος.

Αν από ένα όφελος αφαιρέσεις το μηδέν έχεις πάλι όφελος

Μηδέν μείον μηδέν είναι μηδέν.

Ένα χρέος που αφαιρείται από το μηδέν γίνεται όφελος.

Ένα όφελος που αφαιρείται από το μηδέν γίνεται κέρδος .

Όταν το μηδέν πολλαπλασιάζεται με ένα χρέος ή ένα όφελος το αποτέλεσα είναι μηδέν κ.ά.

  http://nrich.maths.org/5961

Δραστηριότητα 2 η  παιχνίδι δαπέδου από (C. Verderman, 1998) σελ 32

Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί, ως επί το πλείστον, αντιστάθηκαν στην ιδέα των αρνητικών αριθμών μέχρι τον 17ο αιώνα, αν και ο Fibonacci επέτρεψε τις αρνητικές λύσεις στα οικονομικά προβλήματα που θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως χρέη (chapter 13 of Liber Abaci, 1202) και αργότερα ως ζημίες.(Flos). http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82

• παραδείγματα ακεραίων αριθμών:
• οι ακέραιοι στην καθημερινή ζωή https://www.youtube.com/watch?v=0Yevn2t8wLg
• BBC Weather 17th December 2009: Snow showers in the east https://www.youtube.com/watch?v=9dmUNY6mM

Για να δείτε τη παρουσίαση πατήστε εδώ 

7η συνάντηση

7^η Συνάντηση

Θέματα:

Από την αριθμητική στη μαθηματική επιστήμη. (Σύντομη ματιά στην ιστορία των μαθηματικών). Οι αριθμοί είναι  παντού.  Πού  χρησιμοποιούμε τους αριθμούς; Ποιοι ήταν οι λόγοι που αναπτύχθηκε  η μαθηματική επιστήμη;

Όταν οι άνθρωποι έμαθαν τι είναι οι αριθμοί και πώς λειτουργούν, άρχισαν να τους χρησιμοποιούν :

•      Στη μέτρηση του χρόνου -ημερολόγιο

•       Στο εμπόριο/ από τις ανταλλαγές αγαθών και υπηρεσιών στα πρώτα κέρματα και χαρτονομίσματα  (ιστορία του χρήματος  )

•      Στο εμπόριο /βρήκαν πώς να ζυγίζουν τα αγαθά που αγόραζαν και πουλούσαν

•      Στη μέτρηση μήκους, ύψους, για την κατασκευή κτιρίων  και μνημείων . 

•      Μέτρηση του μεγέθους της γης και της απόσταση της γης από τη Σελήνη κ.ά. 

•     Μελετήσαμε το παράδειγμα της  «Μέτρησης του χρόνου»

Νομίζετε ότι οι αρχαίοι νοιάζονταν για να μετρήσουν το χρόνο;

Απλώς μάντευαν!

Μάντευαν την ώρα της ημέρας ή  την εποχή. Μάντευαν το χρόνο που χρειάζονταν για να περπατήσουν μια απόσταση ή πόσα ξύλα ή πόση τροφή έπρεπε να κουβαλήσουν στο σπίτι .



http://www.slideboom.com/presentations/1177845/7%CE%B7-%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CE%BD%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7

6η Συνάντηση:

Συνάντηση 6^η:

Στόχος:

• Να κατανοήσουν ότι ο συμβολισμός του μηδενός και η καθημερινή χρήση του είναι από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του ανθρώπινου νου

• Να μάθουν την ιστορία του μηδενός και να θυμηθούν την ιστορία των αριθμητικών συστημάτων

• Να μάθουν ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να κάνουμε υπολογισμούς, ότι οι αλγόριθμοι των πράξεων που μαθαίνουμε στο σχολείο δεν είναι οι μοναδικοί.

• Να κατανοήσουν πώς από την αριθμητική πήγαμε στην μαθηματική επιστήμη. Ποιοι ήταν οι λόγοι που αναπτύχθηκε η μαθηματική επιστήμη

Δραστηριότητα 1^η (παιχνίδι με την ιστορία του μηδενός )

• Στόχος είναι να μάθουν την ιστορία του μηδενός και να κατανοήσουν ότι ο συμβολισμός του μηδενός και η καθημερινή χρήση του είναι από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του ανθρώπινου νου

 Υλικά:

 Ιστορικός χάρτης της Μεσογείου

Κάρτες με την ιστορία του μηδενός

(6 ζευγάρια καρτών –κάθε ζευγάρι κάρτας έχει το ίδιο περιεχόμενο. Μπροστά την  εικόνα  ενός αντικείμενου ή προσώπου που συνδέεται με την ιστορία των αριθμών και από πίσω πληροφορίες με τις σπουδαιότερες φάσεις της ιστορίας του μηδενός )

Τα παιδιά κάθισαν γύρω από το  χάρτη της Μεσογείου και επέλεξαν μία κάρτα (στην συνάντηση  συμμετείχαν 10 μαθητές , οπότε έπαιξε και ένα ζευγάρι φοιτητών ). Στη συνέχεια έψαξαν  να βρουν το ζευγάρι τους δηλ. αυτόν /η που είχε  ίδια κάρτα ) με αυτούς.  Κάθε ζευγάρι διάβασε το περιεχόμενο της κάρτας του και αφού κουβέντιασαν μεταξύ τους τοποθέτησαν τις κάρτες τους (τη μία από τις δύο σε  χρονολογική  σειρά). Στη συνέχεια το πρώτο ζευγάρι (κατά χρονολογική σειρά )έδειξε τη φωτογραφία της κάρτας του και έθεσε ερωτήσεις στους υπόλοιπους του τύπου:

Τι είναι; Από πού είναι; Αναγνωρίζετε το πρόσωπο της εικόνας κτλ.  

Το ζευγάρι που είχε την κάρτα διάβαζε το περιεχόμενο της κάρτας και έδινε τη σειρά του στους επόμενους.

Στο τέλος μπήκαν όλες οι κάρτες σε χρονολογική σειρά.    

Δραστηριότητα 2^η

Τι είναι το μηδέν;(παρουσίαση )

Ø  Η λέξη «μηδέν», έχει αρχαιοελληνική προέλευση (μηδέ εν) και σημαίνει: ούτε καν ένα, τίποτα απολύτως , κενό.

Ø  Το σύμβολο «0» προέρχεται από την Ινδία .

Ø  Το 830μ.Χ. ο ΑΛ ΧΟΥΑΡΊΖΜΙ ανέλυσε το ινδικό σύστημα αρίθμησης,  αλλά πέρασαν 400 χρόνια για να γίνει γνωστό το έργο του στη Δύση .

Ø  Το μηδέν προβλημάτισε τους στοχαστές .

Ø  Είναι ένα αριθμός ή απλώς ένα σύμβολο; Αν αντιπροσωπεύει πραγματικά το τίποτε , τότε γιατί να το συμπεριλάβουμε στους υπόλοιπους αριθμούς σαν να είναι υπαρκτή οντότητα;

Ø  Στο βιβλίο του liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, Ο Λεονάρντο της Πίζας, ή Φιμπονάτσι (1180- 1250) υποστήριξε ότι μπορούμε να συλλάβουμε το μηδέν ως συμπλήρωμα της κενής θέσης , που διαχωρίζει αριθμούς ή στήλες.

Ø  Το μηδέν μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει μια ένδειξη βαθμονομημένης κλίμακας . π.χ. το μηδέν αντιπροσωπεύει μια συγκεκριμένη ένδειξη του θερμόμετρου και δε σημαίνει «όχι θερμοκρασία» (αναφορά στους ακέραιους )

Παραδείγματα με το μηδέν /Μελετώντας το μηδέν

Υπολογισμοί με το μηδέν

8+0=                      (ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση )

8-0=

12x0=                   (απορροφητικό στοιχείο στον πολλαπλασιασμό )

12:0=                  (με το κομπιουτεράκι)

Η θέση του μηδενός :

Το μηδέν δε σημαίνει πάντα τίποτα

Όταν το μηδέν τοποθετείται δεξιά από ένα αριθμό τότε ο αρχικός αριθμός πολλαπλασιάζεται με το δέκα.

Το μηδέν ένας αριθμός με ιδιαίτερη συμπεριφορά

Πόσο κάνει

1x2x3x4x5x6x7x8x9x0=

Οι αριθμοί του κόσμου

Οι άνθρωποι χρησιμοποίησαν εκατοντάδες αριθμητικά συστήματα

(σχετική διαφάνεια )

Γιατί επιλέξαμε το δεκαδικό σύστημα των Ινδών.

Σήμερα χρησιμοποιούμε το Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης γιατί μπορούμε να ονομάσουμε όλους του φυσικούς αριθμούς, όσο μεγάλοι και να είναι και να κάνουμε εύκολα υπολογισμούς .

Οι υπολογισμοί στην ιστορία  (παρουσίαση )

Με πόσους τρόπους μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς

Συζητάμε

Ø  Θυμόμαστε πώς έκαναν πράξεις οι Βαβυλώνιου και οι Αιγύπτιοι (σχετικές παρουσιάσεις )

Το σύστημα των Αιγυπτίων που χρονολογείται γύρω στο 2000π.χ. ήταν αδέξιο , καθώς οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις πραγματοποιούνται με επαναλαμβανόμενες  προσθέσεις και αφαιρέσεις

Περίπου ταυτόχρονα οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν πίνακες για τον πολλαπλασιασμό , για τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών. Αυτά τα συστήματα κράτησαν αιώνες, ως το 600ακόμη και το 400π.Χ.

Ø  Αυτή την περίοδο οι Έλληνες μαθηματικοί , όπως ο Πυθαγόρας , ο Θαλής ο Μιλήσιος και ο Πλάτωνας διαχωρίζουν την αριθμητική , ως θεωρία αριθμών από τη λογιστική , την τεχνική των απολογισμών που αποτελούν ζωτικό εργαλείο των έμπορων και των ναυτικών

Ø  Περίπου τον ίδιο καιρό οι Κινέζοι υιοθετούν τον άβακα που χρησιμοποιεί το δεκαδικό σύστημα

Ø  Από την πλευρά τους οι Ινδοί επινόησαν τεχνικές για τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και το σύστημα τους υιοθετήθηκε από τους Άραβες το 800μ.Χ.

Από τότε οι μέθοδοι έγιναν πιο περίτεχνες, με εφαρμογές στο εμπόριο και τη διοίκηση.

Δραστηριότητα 4^η

1. Video(από Κυριακή) με αραβικό πολλαπλασιασμό https://www.youtube.com/watch?v=zAeMgWwKEtU
2. Καρτέλες smile:   Gelosia 0174 και  1761
3.  Καρτέλα smile: οι ράβδοι του Napier 0066    (ποιος ήταν ο Napier ) 

Κλείσαμε  με το επιτραπέζιο για τη ιστορία των αριθμών.

Για να δείτε την παρουσίαση πατήστε εδώ 

5η Συνάντηση

Συνάντηση 5^η:

Στόχος:

Οι μαθητές :

Να κατανοήσουν τα πλεονεκτήματα των θεσιακών συστημάτων αρίθμησης στην ονοματολογία  μεγάλων αριθμών και  για την εκτέλεση υπολογισμών.

Να κατανοήσουν τα πλεονεκτήματα του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης ( η χρήση της βάσης του 10) στην ονοματολογία  μεγάλων αριθμών και  στην εκτέλεση υπολογισμών.

Να κατανοήσουν τη σημασία της χρήσης του «μηδενός» στην ονοματολογία  μεγάλων αριθμών και  στην εκτέλεση υπολογισμών

Σύνδεση με τα προηγούμενα

Τι έκαναν οι άνθρωποι με τους αριθμούς;

• Με τους αριθμούς αριθμούσαν (Οι αριθμοί επινοήθηκαν στις απαρχές της ανθρωπότητας για να απαντήσουν στο ερώτημα : «πόσα;» π.χ. «Πόσα παιδιά στη φυλή», «Πόσα πρόβατα στο κοπάδι»
• Μετρούσαν μεγέθη (π.χ. οι Αιγύπτιοι, αποστάσεις, επιφάνειες)
• Υπολόγιζαν (σοδειές, το χρόνο, γωνίες , «Πόσες ήμερες πριν ήρθε η Πανσέληνος»

Πόσοι αριθμοί υπάρχουν ;

Άπειροι

Απόδειξη «δια της εις άτοπον απαγωγής»

Έστω ότι υπάρχει  κάποιος φυσικός αριθμός  Α, που είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός.

 Εφόσον ο Α είναι φυσικός αριθμός , ο Α+1 είναι επίσης φυσικός αριθμός .

Όμως ο Α+1 είναι μεγαλύτερος από τον Α.

Αυτό αντιφάσκει στην αρχική μου παραδοχή , ότι δηλαδή ο Α είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός.

Επομένως,  δεν υπάρχει ΜΕΓΙΣΤΟΣ φυσικός αριθμός και οι φυσικοί αριθμοί είναι  ΑΠΕΙΡΟΙ.

Αφού υπάρχουν άπειροι αριθμοί πώς μπορούμε να τους ονομάσουμε όλους

«Από τη μεριά του Ο Αχμές έσπευσε να γράψει σ΄ ένα καινούριο φύλλο του σημειωματάριου που τους είχε χαρίσει ο Πανέμπ:  «1.422.000» κατσίκες !Όλες οι ποσότητες έχουν έναν αριθμό. Ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός ;»

Όλοι οι πολιτισμοί αντιμετώπισαν  το ερώτημα πώς ονομάζουμε τους μεγάλους αριθμούς

Ας υποθέσουμε ότι δίνουμε  ονόματα στην τύχη,  όπως οι Αιγύπτιοι στα ψηφία.

ΤΙ ΘΑ ΓΊΝΕΙ;

Σύντομα θα  φτάσουμε στο σημείο να μη θυμόμαστε ποιο όνομα αντιστοιχεί σε ποιον αριθμό

Δραστηριότητα1η

 «Ονομάστε τους αριθμούς στις πινακίδες που φτιάξατε (πηγαίνουμε να ονομάσουμε τους βαβυλωνιακού και τους Αιγυπτιακούς αριθμούς)

Τι πρέπει να θυμηθούμε;

Πώς καταφέρνουμε να ονομάζουμε τους αριθμούς;Οι μαθητές ανατρέχουν/αξιοποιούν  το 3^ο φύλλο εργασίας. 

 

 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΝΟΗΣΕΙΣ: Βαβυλώνιων, Αιγυπτίων και Ίνκας

Βαβυλώνιοι

Οι Σουμέριοι  (Struik, 1982) χρησιμοποιούσαν το ίδιο σύμβολο για να δηλώσουν τις διάφορες εξηνταδικές τάξεις. Έτσι η σημασία του συμβόλου εξαρτιόταν από τη θέση του .

π.χ.

  Αν το 1 ακολουθούσε το 1 τότε είχαμε τον αριθμό 61,

ενώ

το 5 ακολουθούμενο από το 6 και από το 3 δηλ 5,6,3,

 σήμαινε 5x60²+6x60+3=18.363

Μοιάζει πολύ με το δεκαδικό

3x10²+4x10+3=343

Ένα τέτοιο σύστημα βοηθά πολύ στους υπολογισμούς

Κάποιες αριθμήσεις είναι ευφυείς, ενώ άλλες άκομψες και δύσχρηστες

Πράξεις στο Ρωμαϊκό σύστημα και στο δεκαδικό

Δραστηριότητα 2^η

Από το Smile: ρωμαϊκοί αριθμοί 1411

Δραστηριότητα 3^η

Θέμα : «Οι Έλληνες και Ρωμαίοι χρησιμοποιούσαν αριθμήσεις δύσχρηστες»

Οι μαθητές μελετούν τη διαφάνεια και απαντούν

Γιατί επιλέξαμε το δεκαδικό σύστημα των Ινδών;

Σήμερα χρησιμοποιούμε το Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης γιατί μπορούμε να ονομάσουμε όλους του φυσικούς αριθμούς, όσο μεγάλοι και να είναι και για να κάνουμε εύκολα υπολογισμούς 

Για να δείτε την παρουσίαση πατήστε εδώ 

4η Συνάντηση

Συνάντηση 4^η: Σύγκριση  των αριθμητικών συστημάτων των  Βαβυλώνιων , των Αιγυπτίων και των Ίνκας και ανάδειξη των δομικών στοιχείων του δεκαδικού συστήματος.

Στόχος:

Οι μαθητές :

Να κατανοήσουν πώς το κοινωνικοπολιτικό περιβάλλον καθόρισε και διαμόρφωσε τα μαθηματικά που χρησιμοποίησαν οι τρεις αυτοί λαοί

Να συγκρίνουν τα δομικά και σημασιολογικά στοιχεία γραφής και ανάγνωσης αριθμών των αριθμητικών συστημάτων και τη δυνατότητα εκτέλεσης πράξεων.

Να εκτιμήσουν τις ιδιότητες των πράξεων των αριθμών στα διαφορετικά αριθμητικά συστήματα και να βρουν ομοιότητες και διαφορές  με τους αλγόριθμους που χρησιμοποιούμε σήμερα .

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

• ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ (καθόμαστε σε κύκλο )

Μοιράσαμε 11 κάρτες, όσοι και οι μαθητές, με εικόνες από τα αριθμητικά συστήματα και συζητήσαμε με αφορμή το θέμα της κάθε εικόνας  (ανάδειξη των ιδεών που διαπραγματευτήκαμε την προηγούμενη φορά)

Ενημέρωση της ομάδας στην ολομέλεια για το θέμα της συνάντησης.

1^η δραστηριότητα

Παρουσίαση του βιβλίου  του Τεύκρου Μιχαηλίδη,  Αχμές ο γιος του φεγγαριού*

Διαβάσαμε  το απόσπασμα (σελ. 58-67) από βιβλίο του Μιχαηλίδη,  Αχμές ο γιος του φεγγαριού, σελ. 58-67 για να αναδειχτούν :

 Α. Το κοινωνικοπολιτικό περιβάλλον που καθόρισε και διαμόρφωσε τα μαθηματικά που χρησιμοποίησαν οι Αιγύπτιοι

Β.  Τα δομικά και σημασιολογικά στοιχεία γραφής και ανάγνωσης αριθμών του αριθμητικού συστήματος  των Αιγυπτίων(αρχή της επανάληψης, βάση το 10, αρχή της πρόσθεσης, για να εκτιμήσουν έναν αριθμό πρόσθεταν τους αριθμούς που παρίσταναν τα σύμβολα.)

Γ. οι ομοιότητες και οι διαφορές  με το σημερινό αριθμητικό σύστημα

Π.χ.

Ο αριθμός 243 εκτιμάται ως 2x100+4x10+3 (στο σύστημα μας υπάρχει πολλαπλασιαστική αρχή , βάση το 10 και σύστημα θέσης

Οι αδυναμίες του συστήματος των Αιγυπτίων (δεν μπορούσαν να γράψουν πολύ μεγάλους αριθμούς)

2^η δραστηριότητα

Φύλλο εργασίας 4

3^η δραστηριότητα

 Ακολούθησε βιωματική δράση/εργαστήριο που περιελάμβανε τρεις σταθμούς :

Των Βαβυλώνιων

Των Αιγυπτίων και

των Ίνκας

Οι μαθητές  πέρασαν και από  τους τρεις σταθμούς και αφού μελετούσαν με τη βοήθεια των Συνεργατών φοιτητών,   το εποπτικό υλικό που αφορούσε τον πολιτισμό, τρόπο ζωής του κάθε λαού  και τα χαρακτηριστικά του αριθμητικού συστήματος,  στη συνέχεια κατασκεύασαν πινακίδες , παπύρους και κουϊπού με αριθμούς .

(όλοι κυκλικά πέρασαν  και από τους τρεις  σταθμούς)**

Στην επόμενη συνάντηση θα προσπαθήσουν να αποκρυπτογραφήσουν,  ο έναν τον αριθμό του άλλου.

προετοιμασία της τάξης 

Η ομάδα των Βαβυλωνίων φτιάχνει πήλινες πινακίδες

Η ομάδα των Ίνκα φτιάχνει Κουϊπού 

Η ομάδα των Αιγυπτίων γράφει σε παπύρους και πήλινες πινακίδες

τα έργα των μαθητών