12η Συνάντηση

12^η Συνάντηση

Θέμα: Μαγικοί αριθμοί / Ιδιότητες των αριθμών (Συνέχεια )

 Στόχος:

• Να γνωρίσουν μερικές από τις ιδιότητες των αριθμών,
• Να γνωρίσουν τους πρώτους και τους σύνθετους αριθμούς
•  τους τετράγωνους αριθμούς και του τριγωνικούς αριθμούς
• Να παίξουν παιχνίδια με τους αριθμούς

Ø  Σύνδεση με τα προηγούμενα.

Ø  Τι έγινε στο εργαστήρι ο του ΕΚΦΕ

Ø  Με ποιο τρόπο απεικονίσαμε τα σύνολα αριθμών που γνωρίζουμε . Θα θυμηθούμε το διάγραμμα Venn με τα σύνολα των αριθμών που κατασκευάσαμε στη διάρκεια της 10^η συνάντησης και θα μιλήσουμε για τον Τζον Βενν ,  τον  Άγγλο λογικολόγος και φιλόσοφος  που  έγινε  γνωστός για τη σύλληψη του διαγράμματος Βενν, το οποίο χρησιμοποιείται  σε πολλά επιστημονικά πεδία, περιλαμβανομένης της θεωρίας συνόλων, της θεωρίας πιθανοτήτων, της λογικής, της στατιστικής και της πληροφορικής.

Ø  Θα θυμηθούμε τους πρώτους Αριθμούς και το κόσκινο  του Ερατοσθένη και θα  μιλήσουμε για τον Ερατοσθένη τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό  που προσπάθησε να βρει όλους τους πρώτους αριθμούς .

Ø  Θα δούμε  πώς ο  Ερατοσθένης μέτρησε την περιφέρεια της γης / Το πείραμα του Ερατοσθένη

Ø  Θα μιλήσουμε για περίεργους πρώτους αριθμούς και για μυστικούς κώδικές που βασίζονται στους πρώτους αριθμούς

Ø  Θα ξαναδούμε τους τετράγωνους αριθμούς, μαγικούς τετράγωνους αριθμούς και θα λύσουμε σπαζοκεφαλιές, όπως η μεγάλη απόδραση 

Ø  Θα γνωρίσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς Τρριγωνικοί αριθμοί  (smile 0220,0221)

Ø  Θα γνωρίσουμε τον Καρλ Γκάους,  Γερμανό μαθηματικό και αστροφυσικό, από τις κορυφαίες επιστημονικές φυσιογνωμίες όλων των εποχών, αφού θεωρείται ο θεμελιωτής των μαθηματικών της σύγχρονης εποχής και θα απασχοληθούμε με την απόδειξη της μαθηματικής πρότασης του σχετικά με τους τριγωνικούς αριθμούς Απέδειξε ότι προσθέτοντας το πολύ τρεις τριγωνικούς αριθμούς μπορούμε  να βρούμε  οποιοδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε  τους τριγωνικούς αριθμούς που δίνουν άθροισμα την ηλικία μας. 

Ø  Θα παίξουμε παιχνίδια με αριθμούς παιχνίδια με αριθμούς  smile 1618

 Η παρουσίαση της συνάντησης εδώ

11η Συνάντηση

Συνάντηση11^η: Πόσο μικροί μπορεί να είναι οι αριθμοί;

Κύτταρο και δομή του ατόμου (σύνδεση μαθηματικών και φυσικής )

Παρατήρηση με μικροσκόπιο (επίσκεψη στο ΕΚΦΕ Αλεξανδρούπολης)

Στόχοι :

Οι μαθητές :

Να κατανοήσουν τη χρήση των αριθμών στις μετρήσεις μικρών μεγεθών

Να αναγνωρίσουν,  να αναπαραστήσουν και να περιγράψουν πολλαπλασιαστικές σχέσεις μεταξύ  μεγεθών

Να συγκρίνουν μεγέθη  με κριτήριο την ύπαρξη πολλαπλασιαστικών σχέσεων / μεγέθυνση

Να αναπτύξουν αναλογική συλλογιστική σκέψη

Και να διερευνήσουν τη σχέση των μαθηματικών με τις φυσικές επιστήμες(το παράδειγμα τις βιολογίας )

Αρχικά ο κ. Καραϊλανίδη μας έδωσε  πληροφορίες  για την ιδιότητα του, το ΕΚΦΕ και τα μαθηματικά που χρησιμοποιεί στην εργασία του

Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών

Η μέτρηση του μεγέθους αντικείμενων που μπορείς να δεις είναι εύκολη υπόθεση !

Ø  Πώς όμως μετράς αυτά που δεν μπορείς να διακρίνεις ;

Ø  Πόσο μήκος έχει το κεφάλι μιας καρφίτσας;

Ø  Πώς μετράς αυτά που ούτε φαντάζεσαι πόσο μικρά είναι;

Ø  Όταν οι επιστήμονες ανακάλυψαν την ύπαρξη του κυττάρου, που δε φαίνεται με γυμνό μάτι, πώς το μέτρησαν

Ø  Τι όργανα κατασκεύασαν και ποια μαθητικά χρειάστηκαν για να μελετήσουν τα κύτταρα;

Μερικά από τα ερωτήματα  μας απασχόλησαν στην 11^η συνάντηση του ομίλου.

Ø  Ποια είναι η διαφορά του μικροσκοπίου από το μεγεθυντικό φακό;

Ø  Με το μικροσκόπιο τι μπορούμε να κάνουμε ;

Ø  Ποια είναι η ιστορία του μικροσκοπίου ;

Ø  Μπορεί να μετρηθεί το μήκος του κύτταρου του κρεμμυδιού

Ø  Ποιος αριθμός μπορεί να εκφράσει αυτό το μήκος ;Πόσο μικρός είναι;  

2^η Δραστηριότητα

Οι μαθητές διάβασαν το φυλλάδιο με τις Πληροφορίες για το μικροσκόπιο και την ιστορία του και ο κ. Καραϊλανίδης τους έδωσε οδηγίες χρήσης του μικροσκοπίου

  

Στη συνέχεια τους εξήγησε τη διαδικασία προετοιμασίας των κύτταρων  κρεμμυδιού για να μπορέσουν να τα παρατηρήσουν στο μικροσκόπιο.

 Τέλος εργάστηκαν ατομικά στο Φύλλο εργασία 11^ο

Ευχαριστούμε το ΕΚΦΕ Αλεξανδρούπολης και ιδιαίτερα τον κ. Καραϊλανίδης για τη υπέροχη εμπειρία που μας πρόσφερε.

Το φύλλο εργασίας 

http://photopeach.com/album/10aqy1f

10η συναντηση

10^η Συνάντηση

Θέμα: Ιδιότητες των αριθμών

 Στόχος:

• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των πραγματικών  αριθμών.
• Να έχουν μια πρώτη επαφή με τους άρρητους αριθμούς, τον αριθμό π 
• Να γνωρίσουν μερικές από τις ιδιότητες των αριθμών,
• Να γνωρίσουν τους αρτίους και τους περιττούς αριθμού, τους πρώτους αριθμούς και τους τετράγωνους αριθμούς
• Να παίξουν παιχνίδια με τους αριθμούς 

Η παραουσίαση της συνάντησης εδώ

9η Συνάντηση

Συνάντηση 9^η:

Στόχος:

• Να γνωρίσουν τα σύνολα των αριθμών  φυσικούς, ακέραιους , ρητούς/κλασματικούς,  πραγματικούς
• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των ακεραίων και των υπόλοιπων συνόλων αριθμών .
• Να κατανοήσουν τη χρήση των ακεραίων και των ρητών.

Διερεύνηση των ιδεών για του κλασματικούς και τους δεκαδικούς αριθμούς .              

1^ο  Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών με ερωτήσεις του τύπου:

—  Γνωρίζετε  ότι τα κλάσματα, όπως τα χρησιμοποιούμε σήμερα δεν υπήρχαν στην Ευρώπη μέχρι τον 17ο αιώνα;

—  Ποιοι χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά τα  κλάσματα;

—  Γράφονταν πάντα με τον ίδιο τρόπο ;

—  Πώς έφτασαν στην Ευρώπη και από πού;

Στη συνέχεια οι μαθητές παρακολούθησαν  ένα βίντεο με θέμα τη χρήση των κλασματικών αριθμών

Fractions in Real Life   https://www.youtube.com/watch?v=5AVjBFP4MRg

Occupations That Use Fractions 2  https://www.youtube.com/watch?v=nU_kdjeGACI

Fractions in their World https://www.youtube.com/watch?v=jBASkaj0Jz8

Κλήθηκαν  να αναγνωρίσουν κλασματικούς αριθμούς σε μια ποικιλία από καθημερινά πλαίσια και να απαντήσουν στις  ερωτήσεις :

Γιατί μαθαίνουμε για τους κλασματικούς αριθμούς ;

Από πότε χρησιμοποίησαν τους κλασματικούς αριθμούς οι άνθρωποι;

3^ο Σύνολο των ρητών ή κλασματικών αριθμών

Γνωρίζετε  ότι τα κλάσματα, όπως τα χρησιμοποιούμε σήμερα δεν υπήρχαν στην Ευρώπη μέχρι τον 17ο αιώνα;

Ποιοι χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά τα  κλάσματα;

Γράφονταν πάντα με τον ίδιο τρόπο ;

Πώς έφτασαν στην Ευρώπη και από πού;

Ποιοι αριθμοί λέγονται κλάσματα και γιατί ;

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή α/β , όπου α, β ακέραιοι με β ≠0. Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q . Είναι, δηλαδή,

Q = { α/β| α, β ακέραιοι με β ≠ 0 }.

Ιστορία των κλασμάτων  

Το κλάσμα είναι αρχαία ελληνική λέξη και σημαίνει  «κομμάτι» . Η έννοια του κλάσματος μας πηγαίνει στους αρχαίους χρόνους και  είναι σχεδόν αδύνατο να πει κάποιος πότε ακριβώς χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά.

• 1800 π.Χ. ΟΙ Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούν  κλάσματα
• 1650 π. Χ.  Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν μοναδιαία κλάσματα
• 100 μ. Χ. οι Κινέζοι κατέχούν τρόπους για να κάνουν πράξεις με κλάσματα
• 1175-1250 o Fibonacci είναι ο πρώτος Ευρωπαίος μαθηματικός που χρησιμοποίησε  τα κλάσματα με τη μορφή που τα χρησιμοποιούμε και εμείς σήμερα
• Ο 1585 μ.Χ.  Ο φλαμανδικής καταγωγής  μαθηματικός Simon Stevin (1548-1620) πατέρας της νεότερης στατιστικής, επινόησε τους δεκαδικούς αριθμούς ως νέα μέθοδο γραφής των κλασματικών αριθμών. Τους παρουσίασε στο βιβλίο του « Το  Δέκατο 1585»
• 1700μ. Χ. Η γενικεύεται η χρήση των κλασμάτων με τη μορφή x/y .

Είναι αποδεκτό ότι η έννοια των φυσικών αριθμών προέρχεται από την «καταμέτρηση/ απαρίθμηση» και η έννοια των κλασμάτων προέρχεται από τη «μέτρηση». Για την καταμέτρηση/ απαρίθμηση  απαιτείται ολόκληρη / ακέραιη μονάδα μέτρησης , ενώ στις μετρήσεις χρειαζόμαστε πολλές φορές και μέρος της μονάδας ή μονάδες που να μπορούν να σπάσουν σε κομμάτια. 

Με τους φυσικούς αριθμούς μπορούμε να μετρήσουμε διακριτές ποσότητες, αλλά για να μετρήσουμε με ακρίβεια συνεχείς ποσότητες όπως μήκος, χρόνος κλπ χρειαζόμαστε τα κλάσματα, τα οποία μας έδωσαν  τη δυνατότητα να χωρίσουμε τη μονάδα / ολόκληρο σε μικρότερα κομμάτια.

Στοιχεία από τα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της έννοιας του κλάσματος  βρίσκουμε στα  αιγυπτιακά μαθηματικά και η καλύτερη πηγή για να μάθουμε πώς τα χρησιμοποιούσαν είναι ο πάπυρος Rhind (χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ. ). Διαπιστώνουμε ότι τα κλάσματα ήταν πολύ σημαντικά για τους Αιγυπτίους, γιατί από τα 87 προβλήματα που είναι καταγεγραμμένα στον πάπυρο μόνο τα 6 δεν περιέχουν κλάσματα .

http: //www.daviddarling.info/encyclopedia/R/Rhind_papyrus.html

Αιγυπτιακά κλάσματα  smile 1771

Ζεύγη ίσων κλασμάτων smile 2105

ΠΑΙΧΝΊΔΙ  από Matching Fractions http://nrich.maths.org/8283
Για να δείτε την παρουσίαση της συνάντησης πατήστε εδώ 

8η συνάντηση

Συνάντηση 8^η:

Στόχος:

• Να γνωρίσουν τα σύνολα των αριθμών  φυσικούς, ακέραιους ,
• Να κατανοήσουν την επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών μέσω των ακεραίων
• Να κατανοήσουν τη χρήση των ακεραίων

1^ο  Διερεύνηση των ιδεών των μαθητών με ερωτήσεις του τύπου:

«Εκτός από τους φυσικούς ποιους άλλους αριθμούς ξέρετε;»

«Πού  και πότε τους χρησιμοποιούμε;» 

Στη συνέχεια οι μαθητές θα παρακολουθήσουν ένα βίντεο με θέμα τη χρήση των αριθμών (http://www.bbc.co.uk/skillswise/topic/number-symbols) και θα κληθούν  να αναγνωρίσουν αριθμούς σε μια ποικιλία από καθημερινά πλαίσια και να απαντήσουν στην ερώτηση : Γιατί μαθαίνουμε τα σύμβολα των αριθμών; 

Οι μαθητές θα αναγνωρίσουν ακέραιους και δεκαδικούς αριθμούς

Διερεύνηση των ιδεών για του ακέραιους και τους δεκαδικούς αριθμούς .                    

Ποιο ήταν το πρώτο σύνολο αριθμών που χρησιμοποίησαν οι άνθρωποι;

1^Ο Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών : Ν {0,1,2,3,4,…}

 Το πρώτο σύνολο αριθμών που δημιούργησαν οι άνθρωποι  ήταν οι φυσικοί αριθμοί. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι τους φυσικούς αριθμούς τους δημιούργησαν για να αριθμήσουν αντικείμενα της καθημερινής ζωής .

2ο Σύνολο των Ακεραίων αριθμών : Ζ = {......., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,.......},

Οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν ονομάζονται θετικοί , ενώ οι μικρότεροι από το μηδέν λέγονται αρνητικοί. Σε κινέζικες μήτρες / πίνακες  εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στην ιστορία αρνητικοί αριθμοί. Οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν δύο ομάδες ράβδων για τους υπολογισμούς τους: κόκκινες για τους θετικούς και μαύρες για τους αρνητικούς. Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνταν για εμπορικούς σκοπούς και υπολογισμούς της φορολογίας. Το ποσό που δηλώνει πώληση θετικό (λόγω της παραλαβής των χρημάτων) και το ποσό που δαπανήθηκε για αγορά ήταν αρνητικό.

 Πέρα από την Κίνα δε συναντούσε κανείς συχνά αρνητικούς αριθμούς έως το 16^ο αιώνα μ.Χ. , ενώ στην εποχή μας οι ακέραιοι αριθμοί χρησιμοποιούνται σχεδόν καθημερινά. Στις χρηματαγορές / χρηματιστήριο, όπου καθημερινά δισεκατομμύρια μετοχές και τίτλοι αλλάζουν χέρια, τα ποσά μεταφέρονται σε τραπεζικούς λογαριασμούς με μορφή θετικών ή αρνητικών  αριθμών –χωρίς άμεση ανταλλαγή χαρτονομισμάτων ή τραπεζογραμμάτιων(C. Verderman, 1998)

 Στην Ινδία, οι αρνητικοί αριθμοί εμφανίστηκαν περίπου το  620 μ.Χ. στο έργο του Brahmagupta (598-670), ο οποίος χρησιμοποίησε τις ιδέες  «όφελος » και «χρέος» για τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς αντίστοιχα. Ο Brahmagupta χρησιμοποίησε ένα ειδικό σύμβολο για τους αρνητικούς αριθμούς και ανέφερε τους κανόνες για τις πράξεις με ακέραιους αριθμούς:

Αν από ένα χρέος αφαιρέσεις το μηδέν έχεις πάλι χρέος.

Αν από ένα όφελος αφαιρέσεις το μηδέν έχεις πάλι όφελος

Μηδέν μείον μηδέν είναι μηδέν.

Ένα χρέος που αφαιρείται από το μηδέν γίνεται όφελος.

Ένα όφελος που αφαιρείται από το μηδέν γίνεται κέρδος .

Όταν το μηδέν πολλαπλασιάζεται με ένα χρέος ή ένα όφελος το αποτέλεσα είναι μηδέν κ.ά.

  http://nrich.maths.org/5961

Δραστηριότητα 2 η  παιχνίδι δαπέδου από (C. Verderman, 1998) σελ 32

Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί, ως επί το πλείστον, αντιστάθηκαν στην ιδέα των αρνητικών αριθμών μέχρι τον 17ο αιώνα, αν και ο Fibonacci επέτρεψε τις αρνητικές λύσεις στα οικονομικά προβλήματα που θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως χρέη (chapter 13 of Liber Abaci, 1202) και αργότερα ως ζημίες.(Flos). http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82

• παραδείγματα ακεραίων αριθμών:
• οι ακέραιοι στην καθημερινή ζωή https://www.youtube.com/watch?v=0Yevn2t8wLg
• BBC Weather 17th December 2009: Snow showers in the east https://www.youtube.com/watch?v=9dmUNY6mM

Για να δείτε τη παρουσίαση πατήστε εδώ 

7η συνάντηση

7^η Συνάντηση

Θέματα:

Από την αριθμητική στη μαθηματική επιστήμη. (Σύντομη ματιά στην ιστορία των μαθηματικών). Οι αριθμοί είναι  παντού.  Πού  χρησιμοποιούμε τους αριθμούς; Ποιοι ήταν οι λόγοι που αναπτύχθηκε  η μαθηματική επιστήμη;

Όταν οι άνθρωποι έμαθαν τι είναι οι αριθμοί και πώς λειτουργούν, άρχισαν να τους χρησιμοποιούν :

•      Στη μέτρηση του χρόνου -ημερολόγιο

•       Στο εμπόριο/ από τις ανταλλαγές αγαθών και υπηρεσιών στα πρώτα κέρματα και χαρτονομίσματα  (ιστορία του χρήματος  )

•      Στο εμπόριο /βρήκαν πώς να ζυγίζουν τα αγαθά που αγόραζαν και πουλούσαν

•      Στη μέτρηση μήκους, ύψους, για την κατασκευή κτιρίων  και μνημείων . 

•      Μέτρηση του μεγέθους της γης και της απόσταση της γης από τη Σελήνη κ.ά. 

•     Μελετήσαμε το παράδειγμα της  «Μέτρησης του χρόνου»

Νομίζετε ότι οι αρχαίοι νοιάζονταν για να μετρήσουν το χρόνο;

Απλώς μάντευαν!

Μάντευαν την ώρα της ημέρας ή  την εποχή. Μάντευαν το χρόνο που χρειάζονταν για να περπατήσουν μια απόσταση ή πόσα ξύλα ή πόση τροφή έπρεπε να κουβαλήσουν στο σπίτι .



http://www.slideboom.com/presentations/1177845/7%CE%B7-%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CE%BD%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7

6η Συνάντηση:

Συνάντηση 6^η:

Στόχος:

• Να κατανοήσουν ότι ο συμβολισμός του μηδενός και η καθημερινή χρήση του είναι από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του ανθρώπινου νου

• Να μάθουν την ιστορία του μηδενός και να θυμηθούν την ιστορία των αριθμητικών συστημάτων

• Να μάθουν ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να κάνουμε υπολογισμούς, ότι οι αλγόριθμοι των πράξεων που μαθαίνουμε στο σχολείο δεν είναι οι μοναδικοί.

• Να κατανοήσουν πώς από την αριθμητική πήγαμε στην μαθηματική επιστήμη. Ποιοι ήταν οι λόγοι που αναπτύχθηκε η μαθηματική επιστήμη

Δραστηριότητα 1^η (παιχνίδι με την ιστορία του μηδενός )

• Στόχος είναι να μάθουν την ιστορία του μηδενός και να κατανοήσουν ότι ο συμβολισμός του μηδενός και η καθημερινή χρήση του είναι από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του ανθρώπινου νου

 Υλικά:

 Ιστορικός χάρτης της Μεσογείου

Κάρτες με την ιστορία του μηδενός

(6 ζευγάρια καρτών –κάθε ζευγάρι κάρτας έχει το ίδιο περιεχόμενο. Μπροστά την  εικόνα  ενός αντικείμενου ή προσώπου που συνδέεται με την ιστορία των αριθμών και από πίσω πληροφορίες με τις σπουδαιότερες φάσεις της ιστορίας του μηδενός )

Τα παιδιά κάθισαν γύρω από το  χάρτη της Μεσογείου και επέλεξαν μία κάρτα (στην συνάντηση  συμμετείχαν 10 μαθητές , οπότε έπαιξε και ένα ζευγάρι φοιτητών ). Στη συνέχεια έψαξαν  να βρουν το ζευγάρι τους δηλ. αυτόν /η που είχε  ίδια κάρτα ) με αυτούς.  Κάθε ζευγάρι διάβασε το περιεχόμενο της κάρτας του και αφού κουβέντιασαν μεταξύ τους τοποθέτησαν τις κάρτες τους (τη μία από τις δύο σε  χρονολογική  σειρά). Στη συνέχεια το πρώτο ζευγάρι (κατά χρονολογική σειρά )έδειξε τη φωτογραφία της κάρτας του και έθεσε ερωτήσεις στους υπόλοιπους του τύπου:

Τι είναι; Από πού είναι; Αναγνωρίζετε το πρόσωπο της εικόνας κτλ.  

Το ζευγάρι που είχε την κάρτα διάβαζε το περιεχόμενο της κάρτας και έδινε τη σειρά του στους επόμενους.

Στο τέλος μπήκαν όλες οι κάρτες σε χρονολογική σειρά.    

Δραστηριότητα 2^η

Τι είναι το μηδέν;(παρουσίαση )

Ø  Η λέξη «μηδέν», έχει αρχαιοελληνική προέλευση (μηδέ εν) και σημαίνει: ούτε καν ένα, τίποτα απολύτως , κενό.

Ø  Το σύμβολο «0» προέρχεται από την Ινδία .

Ø  Το 830μ.Χ. ο ΑΛ ΧΟΥΑΡΊΖΜΙ ανέλυσε το ινδικό σύστημα αρίθμησης,  αλλά πέρασαν 400 χρόνια για να γίνει γνωστό το έργο του στη Δύση .

Ø  Το μηδέν προβλημάτισε τους στοχαστές .

Ø  Είναι ένα αριθμός ή απλώς ένα σύμβολο; Αν αντιπροσωπεύει πραγματικά το τίποτε , τότε γιατί να το συμπεριλάβουμε στους υπόλοιπους αριθμούς σαν να είναι υπαρκτή οντότητα;

Ø  Στο βιβλίο του liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, Ο Λεονάρντο της Πίζας, ή Φιμπονάτσι (1180- 1250) υποστήριξε ότι μπορούμε να συλλάβουμε το μηδέν ως συμπλήρωμα της κενής θέσης , που διαχωρίζει αριθμούς ή στήλες.

Ø  Το μηδέν μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει μια ένδειξη βαθμονομημένης κλίμακας . π.χ. το μηδέν αντιπροσωπεύει μια συγκεκριμένη ένδειξη του θερμόμετρου και δε σημαίνει «όχι θερμοκρασία» (αναφορά στους ακέραιους )

Παραδείγματα με το μηδέν /Μελετώντας το μηδέν

Υπολογισμοί με το μηδέν

8+0=                      (ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση )

8-0=

12x0=                   (απορροφητικό στοιχείο στον πολλαπλασιασμό )

12:0=                  (με το κομπιουτεράκι)

Η θέση του μηδενός :

Το μηδέν δε σημαίνει πάντα τίποτα

Όταν το μηδέν τοποθετείται δεξιά από ένα αριθμό τότε ο αρχικός αριθμός πολλαπλασιάζεται με το δέκα.

Το μηδέν ένας αριθμός με ιδιαίτερη συμπεριφορά

Πόσο κάνει

1x2x3x4x5x6x7x8x9x0=

Οι αριθμοί του κόσμου

Οι άνθρωποι χρησιμοποίησαν εκατοντάδες αριθμητικά συστήματα

(σχετική διαφάνεια )

Γιατί επιλέξαμε το δεκαδικό σύστημα των Ινδών.

Σήμερα χρησιμοποιούμε το Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης γιατί μπορούμε να ονομάσουμε όλους του φυσικούς αριθμούς, όσο μεγάλοι και να είναι και να κάνουμε εύκολα υπολογισμούς .

Οι υπολογισμοί στην ιστορία  (παρουσίαση )

Με πόσους τρόπους μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς

Συζητάμε

Ø  Θυμόμαστε πώς έκαναν πράξεις οι Βαβυλώνιου και οι Αιγύπτιοι (σχετικές παρουσιάσεις )

Το σύστημα των Αιγυπτίων που χρονολογείται γύρω στο 2000π.χ. ήταν αδέξιο , καθώς οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις πραγματοποιούνται με επαναλαμβανόμενες  προσθέσεις και αφαιρέσεις

Περίπου ταυτόχρονα οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν πίνακες για τον πολλαπλασιασμό , για τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών. Αυτά τα συστήματα κράτησαν αιώνες, ως το 600ακόμη και το 400π.Χ.

Ø  Αυτή την περίοδο οι Έλληνες μαθηματικοί , όπως ο Πυθαγόρας , ο Θαλής ο Μιλήσιος και ο Πλάτωνας διαχωρίζουν την αριθμητική , ως θεωρία αριθμών από τη λογιστική , την τεχνική των απολογισμών που αποτελούν ζωτικό εργαλείο των έμπορων και των ναυτικών

Ø  Περίπου τον ίδιο καιρό οι Κινέζοι υιοθετούν τον άβακα που χρησιμοποιεί το δεκαδικό σύστημα

Ø  Από την πλευρά τους οι Ινδοί επινόησαν τεχνικές για τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και το σύστημα τους υιοθετήθηκε από τους Άραβες το 800μ.Χ.

Από τότε οι μέθοδοι έγιναν πιο περίτεχνες, με εφαρμογές στο εμπόριο και τη διοίκηση.

Δραστηριότητα 4^η

1. Video(από Κυριακή) με αραβικό πολλαπλασιασμό https://www.youtube.com/watch?v=zAeMgWwKEtU
2. Καρτέλες smile:   Gelosia 0174 και  1761
3.  Καρτέλα smile: οι ράβδοι του Napier 0066    (ποιος ήταν ο Napier ) 

Κλείσαμε  με το επιτραπέζιο για τη ιστορία των αριθμών.

Για να δείτε την παρουσίαση πατήστε εδώ